O torque ( \tau ), ou momento de uma força, é uma medida da capacidade de uma força de girar um objeto em torno de um eixo. Ele é calculado pelo produto vetorial \underset{\sim}{\tau}=\underset{\sim}{r} \times \underset{\sim}{F}, onde \underset{\sim}{r} é o vetor que vai do eixo de rotação até o ponto de aplicação da força. Uma força \underset{\sim}{F}=(1,5,0) N é aplicada na extremidade de uma chave de boca no ponto P(0.2,0.1,0) \mathrm{m}, em relação ao parafuso (eixo de rotação) na origem. Calcule o vetor torque \underset{\sim}{\tau} e a sua magnitude ( \mathrm{em} \mathrm{N} \cdot \mathrm{m} ).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o torque \tau gerado pela força \mathbf{F}=(1,5,0)\,\mathrm{N} aplicada no ponto P(0{,}2,0{,}1,0)\,\mathrm{m} em relação à origem (eixo de rotação). O conteúdo que vamos usar é o produto vetorial
\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r}\times\mathbf{F},
onde \mathbf{r}=(0{,}2,0{,}1,0)\,\mathrm{m} é o vetor posição do ponto de aplicação da força. Em seguida, calcularemos a magnitude \|\boldsymbol{\tau}\| usando a norma usual em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Aplicamos a definição de produto vetorial em coordenadas. Se \mathbf{r}=(r_x,r_y,r_z) e \mathbf{F}=(F_x,F_y,F_z), então
\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ r_x & r_y & r_z\\\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}
e as componentes são
\tau_x = r_yF_z - r_zF_y,\quad \tau_y = r_zF_x - r_xF_z,\quad \tau_z = r_xF_y - r_yF_x.

Passo 3

Substituindo r_x=0{,}2, r_y=0{,}1, r_z=0 e F_x=1, F_y=5, F_z=0, temos
\tau_x = 0{,}1\cdot0 - 0\cdot5 = 0,
\tau_y = 0\cdot1 - 0{,}2\cdot0 = 0,
\tau_z = 0{,}2\cdot5 - 0{,}1\cdot1 = 1 - 0{,}1 = 0{,}9.
Portanto
\boldsymbol{\tau} = (0,\,0,\,0{,}9)\,\mathrm{N\cdot m}.

Passo 4

A magnitude do torque é
\|\boldsymbol{\tau}\| = \sqrt{\tau_x^2 + \tau_y^2 + \tau_z^2} = \sqrt{0^2 + 0^2 + (0{,}9)^2} = 0{,}9\\ \mathrm{N\cdot m}.

Resposta

O vetor torque é \boldsymbol{\tau} = (0,\,0,\,0{,}9)\,\mathrm{N\cdot m} e sua magnitude vale \|\boldsymbol{\tau}\| = 0{,}9\,\mathrm{N\cdot m}.

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