Uma torre eólica de geração de energia possui um rotor com diâmetro de 80 m , exposto a um escoamento de ar uniforme e horizontal. Considere que o ar possui densidade constante igual a 1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Durante a operação, o vento incide sobre o rotor com velocidade média de 12 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e, após atravessar o plano das pás, a velocidade média do ar é reduzida para 8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, mantendo a mesma direção do escoamento.
Admitindo que:
  • o escoamento seja permanente;
  • os efeitos gravitacionais sejam desprezíveis;
  • a pressão atmosférica a montante e a jusante do rotor seja a mesma;
  • toda a variação de quantidade de movimento linear do ar seja transmitida à estrutura da torre;

pede-se:

a) Determine a vazão mássica de ar que atravessa o rotor da torre eólica.
b) Calcule a força resultante exercida pelo vento sobre o conjunto rotor-torre, utilizando o Princípio da Quantidade de Movimento Linear.
c) Indique o sentido da força resultante em relação à direção do vento

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (pegos do enunciado):
  • Diâmetro do rotor: D=80\\ \mathrm{m}.
  • Densidade do ar: \rho=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Velocidade média do vento antes de atravessar o plano das pás (montante): V_{1}=12\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade média do ar logo após atravessar o plano das pás (jusante): V_{2}=8\\ \mathrm{m/s}.
  • Escoamento permanente, mesma direção do vento, pressão igual a montante e jusante.
  • Toda a variação de quantidade de movimento linear do ar é transmitida ao conjunto rotor-torre.
O enunciado pede:
(a) a vazão mássica de ar que atravessa o rotor;
(b) a força resultante exercida pelo vento sobre o conjunto rotor-torre, usando o Princípio da Quantidade de Movimento Linear;
(c) indicar o sentido da força resultante em relação à direção do vento.

Passo 2

Conceito e fórmula da vazão mássica numa superfície de controle
Explicando devagar: a vazão mássica (taxa de massa que atravessa uma área) é dada por
\dot{m}=\rho\,A\,V_{\text{efetiva}},
onde
  • \dot{m} é a vazão mássica em \mathrm{kg/s};
  • \rho é a densidade do fluido em \mathrm{kg/m^{3}};
  • A é a área que o fluido atravessa, em \mathrm{m^{2}};
  • V_{\text{efetiva}} é a velocidade média do fluido através dessa área, em \mathrm{m/s}.
No caso de um disco ideal muito fino (modelo comum para rotores) a velocidade no plano do disco costuma ser aproximadamente a média aritmética entre a velocidade a montante e a jusante. Por isso vamos tomar
V_{\text{efetiva}}=V_{\text{disco}}=\frac{V_{1}+V_{2}}{2}.
Breve justificativa física: o disco (pás) aplica um impulso no ar, fazendo a velocidade sofrer uma descontinuidade ideal através do plano; a velocidade média no próprio plano do disco fica entre os valores a montante e à jusante; para um disco ideal essa escolha é a aritmética e é usada em muitos problemas didáticos.

Passo 3

Calcular a área do rotor
A área do círculo de raio R=D/2 é
A=\pi R^{2}=\pi\left(\frac{D}{2}\right)^{2}.
Substituindo D=80\\ \mathrm{m} e R=40\\ \mathrm{m}:
A=\pi\cdot 40^{2}=1600\pi\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Calcular a velocidade efetiva no plano do rotor
Usando a média aritmética entre V_{1} e V_{2}:
V_{\text{disco}}=\frac{V_{1}+V_{2}}{2}=\frac{12+8}{2}=10\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular a vazão mássica \dot{m}
Agora aplicando \dot{m}=\rho A V_{\text{disco}} com \rho=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}}, A=1600\pi\\ \mathrm{m^{2}} e V_{\text{disco}}=10\\ \mathrm{m/s}:
\dot{m}=\;1{,}2\cdot 1600\pi \cdot 10 =19200\pi\\ \mathrm{kg/s}.
Valor numérico aproximado:
\dot{m}\approx 19200\pi\approx 60318{,}6\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 6

Princípio da Quantidade de Movimento Linear e fórmula da força
Explicando a física passo a passo: para um escoamento permanente e unidirecional, a variação de quantidade de movimento do ar por unidade de tempo na direção do vento é a diferença entre o fluxo de momento que sai e o que entra. A força exercida pelo fluido sobre o corpo (aqui: sentido do fluido) é
F_{\text{fluido}}=\dot{m}\,V_{2}-\dot{m}\,V_{1}=\dot{m}\,(V_{2}-V_{1}).
Pelo princípio de ação e reação, a força que o fluido exerce sobre o rotor-torre é a oposta:
F_{\text{rotor}}=-F_{\text{fluido}}=\dot{m}\,(V_{1}-V_{2}).
Aqui:
  • F_{\text{rotor}} é a força resultante sobre o conjunto rotor-torre (positiva no sentido do vento);
  • V_{1} e V_{2} foram definidos antes;
  • \dot{m} é a vazão mássica que calculamos.

Passo 7

Calcular numericamente a força resultante
Usando \dot{m}=19200\pi\\ \mathrm{kg/s} e (V_{1}-V_{2})=12-8=4\\ \mathrm{m/s}:
F_{\text{rotor}}=\dot{m}\,(V_{1}-V_{2})=19200\pi\cdot 4=76800\pi\\ \mathrm{N}.
Valor numérico aproximado:
F_{\text{rotor}}\approx 76800\pi\approx 241274{,}4\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Interpretação do sentido da força
Como V_{1}>V_{2}, o ar perde momento na passagem pelo rotor. O rotor aplica uma força que desacelera o ar (oposta ao movimento do ar) e, em reação, o ar aplica sobre o rotor-torre uma força no mesmo sentido do vento (ou seja, empurra o rotor na direção do escoamento). Portanto o sentido da força resultante sobre o conjunto é no sentido do vento (mesma direção do escoamento).

Resposta

(a) \dot{m}=19200\pi\\ \mathrm{kg/s}\approx60318{,}6\\ \mathrm{kg/s}
(b) F_{\text{rotor}}=76800\pi\\ \mathrm{N}\approx241274{,}4\\ \mathrm{N}
(c) No sentido do vento (a força empurra o rotor-torre na direção do escoamento).

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