Uma torre eólica de geração de energia possui um rotor com diâmetro de 80 m , exposto a um escoamento de ar uniforme e horizontal. Considere que o ar possui densidade constante igual a
. Durante a operação, o vento incide sobre o rotor com velocidade média de
e, após atravessar o plano das pás, a velocidade média do ar é reduzida para
, mantendo a mesma direção do escoamento.
Admitindo que:
- o escoamento seja permanente;
- os efeitos gravitacionais sejam desprezíveis;
- a pressão atmosférica a montante e a jusante do rotor seja a mesma;
- toda a variação de quantidade de movimento linear do ar seja transmitida à estrutura da torre;
pede-se:
a) Determine a vazão mássica de ar que atravessa o rotor da torre eólica.
b) Calcule a força resultante exercida pelo vento sobre o conjunto rotor-torre, utilizando o Princípio da Quantidade de Movimento Linear.
c) Indique o sentido da força resultante em relação à direção do vento
b) Calcule a força resultante exercida pelo vento sobre o conjunto rotor-torre, utilizando o Princípio da Quantidade de Movimento Linear.
c) Indique o sentido da força resultante em relação à direção do vento
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (pegos do enunciado):
- Diâmetro do rotor:
. - Densidade do ar:
. - Velocidade média do vento antes de atravessar o plano das pás (montante):
. - Velocidade média do ar logo após atravessar o plano das pás (jusante):
. - Escoamento permanente, mesma direção do vento, pressão igual a montante e jusante.
- Toda a variação de quantidade de movimento linear do ar é transmitida ao conjunto rotor-torre.
O enunciado pede:
(a) a vazão mássica de ar que atravessa o rotor;
(b) a força resultante exercida pelo vento sobre o conjunto rotor-torre, usando o Princípio da Quantidade de Movimento Linear;
(c) indicar o sentido da força resultante em relação à direção do vento.
(a) a vazão mássica de ar que atravessa o rotor;
(b) a força resultante exercida pelo vento sobre o conjunto rotor-torre, usando o Princípio da Quantidade de Movimento Linear;
(c) indicar o sentido da força resultante em relação à direção do vento.
Passo 2
Conceito e fórmula da vazão mássica numa superfície de controle
Explicando devagar: a vazão mássica (taxa de massa que atravessa uma área) é dada por
onde
-
é a vazão mássica em ; -
é a densidade do fluido em ; -
é a área que o fluido atravessa, em ; -
é a velocidade média do fluido através dessa área, em .
No caso de um disco ideal muito fino (modelo comum para rotores) a velocidade no plano do disco costuma ser aproximadamente a média aritmética entre a velocidade a montante e a jusante. Por isso vamos tomar
Breve justificativa física: o disco (pás) aplica um impulso no ar, fazendo a velocidade sofrer uma descontinuidade ideal através do plano; a velocidade média no próprio plano do disco fica entre os valores a montante e à jusante; para um disco ideal essa escolha é a aritmética e é usada em muitos problemas didáticos.
Passo 3
Calcular a área do rotor
A área do círculo de raio
é
Substituindo
e
:
Passo 4
Calcular a velocidade efetiva no plano do rotor
Usando a média aritmética entre
e
:
Passo 5
Calcular a vazão mássica
Agora aplicando
com
,
e
:
Valor numérico aproximado:
Passo 6
Princípio da Quantidade de Movimento Linear e fórmula da força
Explicando a física passo a passo: para um escoamento permanente e unidirecional, a variação de quantidade de movimento do ar por unidade de tempo na direção do vento é a diferença entre o fluxo de momento que sai e o que entra. A força exercida pelo fluido sobre o corpo (aqui: sentido do fluido) é
Pelo princípio de ação e reação, a força que o fluido exerce sobre o rotor-torre é a oposta:
Aqui:
-
é a força resultante sobre o conjunto rotor-torre (positiva no sentido do vento); -
e foram definidos antes; -
é a vazão mássica que calculamos.
Passo 7
Calcular numericamente a força resultante
Usando
e
:
Valor numérico aproximado:
Passo 8
Interpretação do sentido da força
Como
, o ar perde momento na passagem pelo rotor. O rotor aplica uma força que desacelera o ar (oposta ao movimento do ar) e, em reação, o ar aplica sobre o rotor-torre uma força no mesmo sentido do vento (ou seja, empurra o rotor na direção do escoamento). Portanto o sentido da força resultante sobre o conjunto é no sentido do vento (mesma direção do escoamento).
Resposta
(a)
(b)
(c) No sentido do vento (a força empurra o rotor-torre na direção do escoamento).
(b)
(c) No sentido do vento (a força empurra o rotor-torre na direção do escoamento).