Em um local de prospecção de energia eólica, o vento sopra de forma constante a 8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a energia mecânica do ar por massa e o potencial de geração de potência de uma turbina eólica com rotor de 50 m de diâmetro. Considere densidade do ar de 1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} 3. Sabendo que o rotor da turbina tem 80 \% de eficiência, quanto de potência de eixo será produzida no local?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (pego todos os dados do enunciado).
Dados:
  • Velocidade do vento: v=8\\ \mathrm{m/s}.
  • Densidade do ar: \rho=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Diâmetro do rotor: D=50\\ \mathrm{m}.
  • Eficiência da turbina (rotor para eixo): \eta=80\%=0{,}8.
O enunciado pede:
  1. A energia mecânica do ar por massa (isto é, energia cinética por unidade de massa do ar que sopra).
  2. O potencial de geração de potência da turbina (potência disponível no vento que atravessa a área do rotor).
  3. A potência de eixo produzida quando a turbina tem 80\% de eficiência.

Passo 2

Energia mecânica por massa do ar — conceito e fórmula.
Explicação didática:
  • A energia cinética de uma massa m que se move à velocidade v é \tfrac{1}{2} m v^{2}.
  • Se quisermos a energia por unidade de massa (energia por quilo de ar), dividimos por m e obtemos
e=\tfrac{1}{2}v^{2},
onde e é a energia específica (energia por massa) em \mathrm{J/kg} e v está em \mathrm{m/s}.
Cálculo numérico com v=8\\ \mathrm{m/s}:
e=\tfrac{1}{2}\cdot(8)^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot64=32.
Portanto, a energia mecânica do ar por massa é
e=32\\ \mathrm{J/kg}.
Interpretação intuitiva: cada quilograma de ar que passa carrega 32\\ \mathrm{J} de energia cinética na velocidade dada — é uma forma simples de ver “quanto de energia” há por quilograma de ar.

Passo 3

Potência disponível no vento através do rotor — derivação e fórmula.
Explicação didática:
  • Considere a área do rotor por onde o ar passa. O fluxo de massa por segundo que atravessa essa área é
\dot{m}=\rho A v,
onde \dot{m} é a massa por segundo ( \mathrm{kg/s}), \rho é a densidade ( \mathrm{kg/m^{3}}), A é a área do rotor ( \mathrm{m^{2}}) e v é a velocidade do vento ( \mathrm{m/s}).
  • Cada quilograma de ar carrega energia e=\tfrac{1}{2}v^{2}. Então a potência (energia por segundo) disponível no fluxo é
P_{\text{vento}}=\dot{m}\,e=\rho A v\cdot\tfrac{1}{2}v^{2}=\tfrac{1}{2}\rho A v^{3}.
Essa é a fórmula clássica para potência disponível no vento.
Agora calculamos passo a passo.
Cálculo da área do rotor:
  • Raio r=\dfrac{D}{2}=\dfrac{50}{2}=25\\ \mathrm{m}.
  • Área A=\pi r^{2}=\pi\cdot25^{2}=\pi\cdot625.
A=\pi\cdot625\approx1963{,}4954\\ \mathrm{m^{2}}.
Cálculo de v^{3}:
v^{3}=(8)^{3}=512\\ \mathrm{m^{3}/s^{3}}.
Substituindo na fórmula \displaystyle P_{\text{vento}}=\tfrac{1}{2}\rho A v^{3}:
  • Primeiro \tfrac{1}{2}\rho= \tfrac{1}{2}\cdot1{,}2=0{,}6.
  • Produto A\cdot v^{3}\approx1963{,}4954\cdot512\approx1\,005\,309{,}6489.
  • Multiplicando:
P_{\text{vento}}=0{,}6\cdot1\,005\,309{,}6489\approx603\,185{,}7893\\ \mathrm{W}.
Arredondando para uma apresentação prática:
P_{\text{vento}}\approx603{,}186\\ \mathrm{W}\approx603{,}2\\ \mathrm{kW}.

Passo 4

Checagem alternativa (mesma ideia, para ver que bate): calcular massa de ar por segundo e multiplicar por energia por massa.
Cálculo da vazão mássica:
\dot{m}=\rho A v=1{,}2\cdot1963{,}4954\cdot8\approx18\,849{,}555\\ \mathrm{kg/s}.
Multiplicando por e=32\\ \mathrm{J/kg}:
P=\dot{m}\cdot e\approx18\,849{,}555\cdot32\approx603\,185{,}76\\ \mathrm{W},
que confirma o resultado do passo anterior (pequenas diferenças de arredondamento).

Passo 5

Potência de eixo com eficiência de 80\% — como aplicar eficiência.
Explicação didática:
  • A potência disponível no vento P_{\text{vento}} é o máximo físico que atravessa a área do rotor. A turbina só converte uma fração dessa potência em potência de eixo útil; essa fração é a eficiência \eta.
  • A potência de eixo é
P_{\text{eixo}}=\eta\;P_{\text{vento}}.
Cálculo numérico com \eta=0{,}8:
P_{\text{eixo}}=0{,}8\cdot603\,185{,}7893\approx482\,548{,}6314\\ \mathrm{W}.
Arredondando:
P_{\text{eixo}}\approx482\,549\\ \mathrm{W}\approx482{,}55\\ \mathrm{kW}.
Observação prática e encorajamento: normalmente na prática existe um limite físico (limite de Betz \sim59{,}3\%) que impede extrair mais de certo percentual da potência do vento; aqui o enunciado deu eficiência 80\%, então usamos esse valor tal como pedido — na prova aceite o número fornecido.

Resposta

32\\ \mathrm{J/kg}
603{,}186\\ \mathrm{W}\\ \left(\approx603{,}2\\ \mathrm{kW}\right)
482{,}549\\ \mathrm{W}\\ \left(\approx482{,}55\\ \mathrm{kW}\right)

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