( 1,5 total e 0,5 cada ítem - pontos) Uma nuvem de tempestade possui uma base plana de área A= 1,0 \mathrm{~km}^{2} situada a uma altura h=500 \mathrm{~m} acima do solo plano. O sistema “nuvem-solo” pode ser modelad como um capacitor de placas paralelas. 0 ar entre eles suporta um campo elétrico máximo de E_{\text {rot }}= 3,0 \times 10^{6} \mathrm{~V} / \mathrm{m} antes de ocorrer a ruptura dielétrica (o raio).
Suponha que, num dado instante, o campo elétrico uniforme entre a nuvem e o solo seja E=2,0 \times 10^{5} \mathrm{~V} / \mathrm{n}
a) Qual é a diferença de potencial entre a nuvem e o solo?
b) Calcule a densidade de energia eletrostática armazenada no ar.
c) Qual a energia total armazenada neste sistema “nuvem-solo”?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede. Dados fornecidos:
  • Área da base da nuvem: A = 1{,}0\\ \mathrm{km}^{2}.
  • Altura (separação nuvem–solo): h = 500\\ \mathrm{m}.
  • Campo elétrico uniforme entre nuvem e solo: E = 2{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{V/m}.
  • Campo de ruptura do ar (valor apenas informativo): E_{\text{rot}} = 3{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{V/m}.
Observações sobre unidades (conversão necessária):
  • Converter A para metros quadrados: 1{,}0\\ \mathrm{km}^{2} = 1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{m}^{2}.
O enunciado pede:
(a) a diferença de potencial entre a nuvem e o solo;
(b) a densidade de energia eletrostática armazenada no ar entre nuvem e solo;
(c) a energia total armazenada no sistema ``nuvem–solo’’.

Passo 2

Resolver (a): relação entre campo elétrico uniforme e diferença de potencial.
Conceito usado (mini-aula): para um campo elétrico uniforme \mathbf{E} entre duas placas paralelas, a diferença de potencial \Delta V entre as placas (potencial da nuvem em relação ao solo) é dada por
\Delta V = E\,h,
onde:
  • \Delta V é a diferença de potencial em volts ( \mathrm{V});
  • E é o módulo do campo elétrico em \mathrm{V/m};
  • h é a separação entre as placas em \mathrm{m}.
Essa fórmula vem de integrar E = -\mathrm{d}V/\mathrm{d}x numa região onde E é constante: \Delta V = -\int E\,\mathrm{d}x = E h em módulo (sinal depende da convenção; aqui queremos o valor absoluto da diferença).
Cálculo numérico:
\Delta V = \left(2{,}0\times10^{5}\right)\left(500\right) = 1{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{V}.
Comentário prático: esse valor de campo E está abaixo do campo de ruptura E_{\text{rot}} (ou seja, 2{,}0\times10^{5}<3{,}0\times10^{6}), logo, teoricamente, ainda não ocorre descarga por ruptura dielétrica apenas por esse campo.

Passo 3

Resolver (b): densidade de energia eletrostática no campo.
Conceito usado (mini-aula): a energia eletrostática armazenada por unidade de volume em um campo elétrico é dada por
u = \tfrac{1}{2}\,\varepsilon\,E^{2},
onde:
  • u é a densidade de energia em \mathrm{J/m^{3}};
  • \varepsilon é a permissividade do meio (para o ar, aproxima-se a permissividade do vácuo \varepsilon_{0});
  • E é o campo elétrico em \mathrm{V/m}.
Valor da permissividade do vácuo (usado para ar): \varepsilon_{0} = 8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m} ( \mathrm{F}=\mathrm{C/V}). Unidade: \mathrm{F/m}\cdot(\mathrm{V/m})^{2}=\mathrm{J/m^{3}}, como desejado.
Cálculo passo a passo:
E^{2} = \left(2{,}0\times10^{5}\right)^{2} = 4{,}0\times10^{10}\\ \mathrm{(V/m)^{2}}.
\varepsilon_{0}E^{2} = \left(8{,}85\times10^{-12}\right)\left(4{,}0\times10^{10}\right) = 0{,}354\\ \mathrm{J/m^{3}}.
u = \tfrac{1}{2}\,\varepsilon_{0}E^{2} = \tfrac{1}{2}\times0{,}354 = 0{,}177\\ \mathrm{J/m^{3}}.
(Se quiser maior precisão, u\approx0{,}1771\\ \mathrm{J/m^{3}}.)

Passo 4

Resolver (c): energia total armazenada no volume entre nuvem e solo.
Conceito usado (mini-aula): a energia total U contida no campo dentro do volume V_{\text{vol}} é a densidade de energia vezes o volume:
U = u \, V_{\text{vol}}.
O volume entre as “placas” é a base vezes a altura:
V_{\text{vol}} = A\,h.
Cálculo do volume (lembre que já converti A para \mathrm{m^{2}}):
V_{\text{vol}} = \left(1{,}0\times10^{6}\right)\left(500\right) = 5{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 5

Continuação do (c): multiplicar densidade pelo volume.
Cálculo:
U = u\,V_{\text{vol}} = \left(0{,}177\right)\left(5{,}0\times10^{8}\right) = 8{,}85\times10^{7}\\ \mathrm{J}.
Comentário final: este número é a energia eletrostática armazenada no campo entre a nuvem e o solo assumindo campo uniforme e permissividade igual a \varepsilon_{0}.

Resposta

(a) \Delta V = 1{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{V}
(b) u = 0{,}177\\ \mathrm{J/m^{3}}
(c) U = 8{,}85\times10^{7}\\ \mathrm{J}

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