( 1,5 total e \mathbf{0 , 5} cada ítem - pontos) Uma fonte de tensão com fem \mathcal{E} e resistência interna fixa r é co nectada a um resistor externo variável R.
(a) Escreva a expressão da potência P dissipada no resistor R em função de \mathcal{E}, \tau e R.
(b) Utilizando cálculo diferencial (d P / d R=0), demonstre que a potência máxima transferida ao resistoı externo ocorre quando R=r (casamento de impedância).
(c) Qual é a eficiência do circuito (razão entre a potência útil externa e a potência total gerada) quandc operando na condição de máxima transferência?

Passo 1

O enunciado dá uma fonte de tensão com força eletromotriz \mathcal{E} e resistência interna fixa r ligada a um resistor externo variável R. As perguntas são:
  • (a) Expressar a potência P dissipada no resistor R em função de \mathcal{E}, r e R.
  • (b) Usando cálculo diferencial ( dP/dR=0), demonstrar que a potência máxima entregue a R ocorre quando R=r.
  • (c) Calcular a eficiência do circuito (razão entre a potência útil externa e a potência total gerada) quando o circuito opera na condição de máxima transferência.
Informações relevantes dadas:
  • \mathcal{E} = fem da fonte (tensão ideal sem corrente).
  • r = resistência interna da fonte (fixa).
  • R = resistência externa (variável).
  • Potência dissipada em um resistor é dada pelas fórmulas usuais de eletricidade (vamos usá-las): P=I^2R ou P=V\!I ou P=V^2/R, conforme conveniente.
    A partir daqui vamos desenvolver a solução passo a passo.

Passo 2

Primeiro determinar a corrente no circuito em função de \mathcal{E}, r e R.
Explicação da lei usada (aula rápida): a Lei de Ohm diz que a tensão total numa malha é igual à corrente vezes a soma das resistências. Aqui a tensão fornecida pela fonte é \mathcal{E} e as resistências em série são r e R. A corrente I que percorre o circuito é, portanto,
I=\dfrac{\mathcal{E}}{R+r}.
Nessa fórmula, \mathcal{E} está em volts, R e r em ohms, e I em ampères. A divisão é a aplicação direta de Ohm em circuito série.

Passo 3

Agora escrever a potência dissipada no resistor externo R.
Explicação da fórmula de potência: para um resistor com corrente I, a potência dissipada nele é
P=I^{2}R,
onde P está em watts. Substituindo I que encontramos:
P = \left(\dfrac{\mathcal{E}}{R+r}\right)^{2} R.
Colocando de forma mais conveniente (fator comum),
\boxed{P(R)=\dfrac{\mathcal{E}^{2}\,R}{(R+r)^{2}}.}
Essa é a expressão pedida no item (a). Ela mostra como a potência em R depende de R, da fem \mathcal{E} e da resistência interna r.

Passo 4

Determinar o máximo de P(R) usando cálculo diferencial: calcular dP/dR, igualar a zero e resolver.
Para derivar, é prático escrever P(R) como
P(R)=\mathcal{E}^{2}\,R\,(R+r)^{-2}.
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia (explico rápido: derivada de u\cdot v é u'v+uv'; derivada de (R+r)^{-2} é -2(R+r)^{-3} pela regra da potência):
\frac{dP}{dR}=\mathcal{E}^{2}\left[(R+r)^{-2} + R\cdot(-2)(R+r)^{-3}\right].
Colocando em um denominador comum (R+r)^{3} e simplificando:
\frac{dP}{dR}=\mathcal{E}^{2}\,\dfrac{(R+r)-2R}{(R+r)^{3}} =\mathcal{E}^{2}\,\dfrac{r-R}{(R+r)^{3}}.
Para extremo(s) fazemos \dfrac{dP}{dR}=0. Como \mathcal{E}^{2}>0 e (R+r)^{3}>0 para resistências positivas, a única condição que zera a derivada é
r-R=0\quad\Rightarrow\quad R=r.

Passo 5

Verificar que esse ponto é máximo (não mínimo).
Uma maneira simples: observar o sinal de \dfrac{dP}{dR}. Para R<r temos r-R>0 então \dfrac{dP}{dR}>0 (a função sobe); para R>r temos r-R<0 então \dfrac{dP}{dR}<0 (a função desce). Logo em R=r ocorre uma mudança de crescimento para decrescimento, caracterizando um máximo.
Se preferir a verificação formal com a segunda derivada, pode-se derivar \dfrac{dP}{dR}=\mathcal{E}^{2}\dfrac{r-R}{(R+r)^{3}}. Avaliando a segunda derivada em R=r obtém-se um valor negativo (detalhes algébricos: o primeiro termo da derivada da fração já dá resultado negativo não nulo em R=r), confirmando máximo.
Conclusão do item (b): a potência máxima é entregue quando \;R=r\; (isso é conhecido como casamento de impedância em circuito puramente resistivo).

Passo 6

Calcular a eficiência do circuito e avaliá‑la na condição de máxima transferência.
Definição/explicação da eficiência usada: eficiência \eta é a razão entre a potência útil entregue ao resistor externo P e a potência total fornecida pela fonte P_{\text{fonte}}. A potência fornecida pela fonte, na convenção passiva, é
P_{\text{fonte}}=\mathcal{E}\,I,
onde I é a corrente que já sabemos. Assim a eficiência é
\eta=\dfrac{P}{P_{\text{fonte}}}=\dfrac{I^{2}R}{\mathcal{E}I}=\dfrac{I R}{\mathcal{E}}.
Substituindo I=\dfrac{\mathcal{E}}{R+r},
\eta=\dfrac{\left(\dfrac{\mathcal{E}}{R+r}\right)R}{\mathcal{E}}=\dfrac{R}{R+r}.
Portanto a eficiência em função de R é
\eta(R)=\dfrac{R}{R+r}.
Agora avaliar em R=r:
\eta(R=r)=\dfrac{r}{r+r}=\dfrac{r}{2r}=\dfrac{1}{2}.
Em porcentagem, \eta=50\%. Isso significa que, no ponto de máxima transferência de potência, metade da potência gerada pela fonte é dissipada na resistência interna r e a outra metade é entregue ao resistor externo R.

Resposta

(a) P(R)=\dfrac{\mathcal{E}^{2}\,R}{(R+r)^{2}}
(b) R=r
(c) \eta=\dfrac{1}{2}=50\%

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