( 1,5 total e
cada ítem - pontos) Uma fonte de tensão com fem
e resistência interna fixa
é co nectada a um resistor externo variável
.
(a) Escreva a expressão da potência
dissipada no resistor
em função de
e
.
(b) Utilizando cálculo diferencial
, demonstre que a potência máxima transferida ao resistoı externo ocorre quando
(casamento de impedância).
(c) Qual é a eficiência do circuito (razão entre a potência útil externa e a potência total gerada) quandc operando na condição de máxima transferência?
(a) Escreva a expressão da potência
(b) Utilizando cálculo diferencial
(c) Qual é a eficiência do circuito (razão entre a potência útil externa e a potência total gerada) quandc operando na condição de máxima transferência?
Passo 1
O enunciado dá uma fonte de tensão com força eletromotriz
e resistência interna fixa
ligada a um resistor externo variável
. As perguntas são:
- (a) Expressar a potência
dissipada no resistor em função de , e . - (b) Usando cálculo diferencial (
), demonstrar que a potência máxima entregue a ocorre quando . - (c) Calcular a eficiência do circuito (razão entre a potência útil externa e a potência total gerada) quando o circuito opera na condição de máxima transferência.
Informações relevantes dadas:
-
= fem da fonte (tensão ideal sem corrente). -
= resistência interna da fonte (fixa). -
= resistência externa (variável). - Potência dissipada em um resistor é dada pelas fórmulas usuais de eletricidade (vamos usá-las):
ou ou , conforme conveniente.
A partir daqui vamos desenvolver a solução passo a passo.
Passo 2
Primeiro determinar a corrente no circuito em função de
,
e
.
Explicação da lei usada (aula rápida): a Lei de Ohm diz que a tensão total numa malha é igual à corrente vezes a soma das resistências. Aqui a tensão fornecida pela fonte é
e as resistências em série são
e
. A corrente
que percorre o circuito é, portanto,
Nessa fórmula,
está em volts,
e
em ohms, e
em ampères. A divisão é a aplicação direta de Ohm em circuito série.
Passo 3
Agora escrever a potência dissipada no resistor externo
.
Explicação da fórmula de potência: para um resistor com corrente
, a potência dissipada nele é
onde
está em watts. Substituindo
que encontramos:
Colocando de forma mais conveniente (fator comum),
Essa é a expressão pedida no item (a). Ela mostra como a potência em
depende de
, da fem
e da resistência interna
.
Passo 4
Determinar o máximo de
usando cálculo diferencial: calcular
, igualar a zero e resolver.
Para derivar, é prático escrever
como
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia (explico rápido: derivada de
é
; derivada de
é
pela regra da potência):
Colocando em um denominador comum
e simplificando:
Para extremo(s) fazemos
. Como
e
para resistências positivas, a única condição que zera a derivada é
Passo 5
Verificar que esse ponto é máximo (não mínimo).
Uma maneira simples: observar o sinal de
. Para
temos
então
(a função sobe); para
temos
então
(a função desce). Logo em
ocorre uma mudança de crescimento para decrescimento, caracterizando um máximo.
Se preferir a verificação formal com a segunda derivada, pode-se derivar
. Avaliando a segunda derivada em
obtém-se um valor negativo (detalhes algébricos: o primeiro termo da derivada da fração já dá resultado negativo não nulo em
), confirmando máximo.
Conclusão do item (b): a potência máxima é entregue quando
(isso é conhecido como casamento de impedância em circuito puramente resistivo).
Passo 6
Calcular a eficiência do circuito e avaliá‑la na condição de máxima transferência.
Definição/explicação da eficiência usada: eficiência
é a razão entre a potência útil entregue ao resistor externo
e a potência total fornecida pela fonte
. A potência fornecida pela fonte, na convenção passiva, é
onde
é a corrente que já sabemos. Assim a eficiência é
Substituindo
,
Portanto a eficiência em função de
é
Agora avaliar em
:
Em porcentagem,
. Isso significa que, no ponto de máxima transferência de potência, metade da potência gerada pela fonte é dissipada na resistência interna
e a outra metade é entregue ao resistor externo
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)