Um trabalhador pode realizar dois níveis de esforço quando contratado por uma fábrica, alto ou baixo. A probabilidade de ocorrerem erros de produção é condicional ao nível de esforço do trabalhador. Se o trabalhador realiza o esforço alto a probabilidade de erro é 0,25 e se o trabalhador realiza o esforço baixo a probabilidade de erro se eleva para 0,75 . A função de utilidade do trabalhador é dada por:
em que
é o salário do trabalhador e
o nível de esforço, que assume o valor
, no caso do trabalhador realizar o esforço alto, e
no caso do trabalhador realizar esforço baixo. A única oportunidade de trabalho existente no mercado é dada por este posto na fábrica. O valor do produto depende de seu estado, ou seja, se o produto estiver perfeito o fabricante consegue vendê-lo a
20,00$ a unidade e se o produto apresentar algum defeito, devido aos erros de produção, o produto não é vendido e, portanto, seu valor é zero. Sabendo que o fabricante é neutro ao risco e maximiza o lucro esperado conhecendo as restrições do trabalhador, assinale falso ou verdadeiro e comente:
(a) O trabalhador irá sempre preferir realizar o nível de esforço baixo.
(b) O fabricante irá sempre preferir que o trabalhador realize o esforço baixo, pois o contrato que induz o trabalhador a realizar o esforço alto é muito desfavorável.
(c) Caso o fabricante queira que o trabalhador realize o esforço baixo deverá pagar salários distintos para cada estado da natureza, mas inferiores ao contrato proposto no caso de induzir o esforço alto.
(d) O salário pago para que o trabalhador realize o esforço baixo é dado por
.
(e) O vetor de salários ofertado ao trabalhador para que este realize o esforço alto é dado por
, em que
é o salário no estado da natureza em que não ocorrem erros de produção e
é o salário no estado da natureza em que ocorrem erros de produção.
(a) O trabalhador irá sempre preferir realizar o nível de esforço baixo.
(b) O fabricante irá sempre preferir que o trabalhador realize o esforço baixo, pois o contrato que induz o trabalhador a realizar o esforço alto é muito desfavorável.
(c) Caso o fabricante queira que o trabalhador realize o esforço baixo deverá pagar salários distintos para cada estado da natureza, mas inferiores ao contrato proposto no caso de induzir o esforço alto.
(d) O salário pago para que o trabalhador realize o esforço baixo é dado por
(e) O vetor de salários ofertado ao trabalhador para que este realize o esforço alto é dado por
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede (peguei todos os números do enunciado):
- Níveis de esforço:
para esforço alto e para esforço baixo. - Probabilidade de erro (condicional ao esforço):
- Se esforço alto:
. - Se esforço baixo:
.
- Se esforço alto:
- Valor do produto: se perfeito, fábrica recebe
; se com erro, recebe . - Utilidade do trabalhador:
. O salário pode ser dependente do estado da natureza: chamar o salário quando o produto é perfeito (nenhum erro) e o salário quando há erro. - O fabricante é neutro ao risco e maximiza lucro esperado, sabendo das restrições do trabalhador.
- O exercício pede que cada afirmação (a)–(e) seja classificada como verdadeiro ou falso e comentada.
Passo 2
Escrever a utilidade esperada do trabalhador para um contrato
e esforço
.
Se o trabalhador escolhe esforço
, a sua utilidade esperada é a esperança de
sobre os estados:
Para
(alto):
Para
(baixo):
Essas expressões são centrais: o trabalhador compara estas duas esperanças para decidir o esforço (incentive compatibility).
Passo 3
Derivar a condição de incentivo (incentive compatibility — IC) para que o trabalhador escolha esforço alto.
Queremos
. Substituindo:
Cancelar
dos dois lados e reorganizar:
Passando os termos com
para um lado:
Isso dá
Multiplicando por
para simplificar:
Ou, escrevendo em termos de recíprocos:
Esta é a condição IC: o contrato deve recompensar mais (em termos de utilidade marginal do salário) o estado ruim relativamente ao bom o suficiente para compensar o custo adicional de esforço
.
Passo 4
Escrever a restrição de participação (individual rationality — IR).
O trabalhador aceita o contrato só se sua utilidade esperada for pelo menos sua reserva. O enunciado diz que “a única oportunidade de trabalho … é este posto”, então assumimos a reserva igual a não trabalhar cuja utilidade vamos tomar como
. Assim a participação exige:
Para o caso de querer induzir esforço baixo e usando um salário único
(mesmo em ambos os estados), a IR fica:
Portanto, o menor salário constante que leva o trabalhador a aceitar e trabalhar com esforço baixo é
. Isso responde a parte da afirmação (d): esse valor é o mínimo que satisfaz a participação quando o salário é o mesmo em ambos os estados.
Passo 5
Determinar o contrato de mínimo custo que induz esforço alto (estratégia do fabricante).
O fabricante, sendo neutro ao risco, quer minimizar o seu gasto com salários sujeito a:
- IC para esforço alto:
É padrão em problemas de mínimo custo que o fabricante escolha o contrato fazendo as restrições vincularem (IC e IR ativas), porque qualquer folga permitiria reduzir pagamentos. Então tomamos as igualdades:
- IC como igualdade:
(escrevi multiplicando a desigualdade por
para simplificar).
- IR como igualdade:
(veja que isso vem de
).
Agora resolvemos este sistema linear em
e
:
Da primeira equação
.
Agora voltamos aos salários:
Portanto o contrato de custo mínimo que induz esforço alto tem exatamente o vetor
. Note que essa solução satisfaz IC e IR com igualdade (IC:
; IR: utilidade esperada igual a zero).
Isto mostra que a afirmação (e) é correta (verdadeira).]
Passo 6
Comparar lucros do fabricante sob cada regime (baixo e alto esforço) usando os contratos minimamente custosos.
Lucro esperado do fabricante quando o trabalhador escolhe
é:
- Se o fabricante quiser esforço baixo, um contrato simples e de menor custo é salário constante
(do Passo 4). Então:
A receita esperada com esforço baixo é
. Logo
- Para induzir esforço alto, usar o contrato do Passo 5 com
e . A receita esperada com esforço alto é . O salário esperado é
Calculemos numericamente (mostrando os passos):
Logo
Portanto
Comparação:
. O fabricante obtém lucro muito maior ao induzir esforço alto com o contrato acima do que ao aceitar esforço baixo com o salário mínimo. Assim a afirmação (b) — que o fabricante sempre preferirá esforço baixo — é falsa.
Passo 7
Responder e comentar cada afirmação (resumo didático e amigável):
(a) “O trabalhador irá sempre preferir realizar o nível de esforço baixo.”
- Comentário: Em geral, com salário não dependente do estado, o trabalhador prefere esforço baixo porque
aparece negativamente na utilidade. Mas o empregador pode oferecer um contrato ligado ao resultado que torne a utilidade esperada com esforço alto maior — como vimos no Passo 5. Logo a afirmação “sempre preferir” é falsa: pode-se induzir esforço alto por contrato. Portanto (a) é FALSO.
(b) “O fabricante irá sempre preferir que o trabalhador realize o esforço baixo, pois o contrato que induz o trabalhador a realizar o esforço alto é muito desfavorável.”
- Comentário: Calculamos os lucros ótimos em cada caso; induzir esforço alto (usando o contrato que torna IC e IR vinculantes) gera lucro esperado muito maior que aceitar esforço baixo com salário mínimo. Logo o fabricante prefere esforço alto. A justificativa da frase é errada, logo (b) é FALSO.
(c) “Caso o fabricante queira que o trabalhador realize o esforço baixo deverá pagar salários distintos para cada estado da natureza, mas inferiores ao contrato proposto no caso de induzir o esforço alto.”
- Comentário: Para induzir esforço baixo não é necessário pagar salários distintos por estado; um salário constante
(menor ou igual ao que o trabalhador aceitaria) já basta. Além disso, nem todos os salários por estado seriam simultaneamente inferiores aos salários do contrato que induz esforço alto (note que é menor que , mas é maior que ). Portanto a afirmação é incorreta: (c) é FALSO.
(d) “O salário pago para que o trabalhador realize o esforço baixo é dado por
.”
- Comentário: Interpretação razoável: o menor salário constante que satisfaz a participação quando o trabalhador fará esforço baixo é
(veja Passo 4). Assim, como mínimo necessário para que o trabalhador aceite e exerça esforço baixo, essa expressão está correta. Portanto (d) é VERDADEIRO (tratando-se do salário mínimo compatível com IR ao oferecer salário constante).
(e) “O vetor de salários ofertado ao trabalhador para que este realize o esforço alto é dado por
, em que
é o salário no estado sem erros e
no estado com erros.”
- Comentário: Resolvendo IC e IR vinculadas (como no Passo 5) obtivemos exatamente esse vetor. Verificou-se que IC e IR seguram com igualdade e que esse contrato minimiza o custo do empregador para induzir esforço alto. Portanto (e) é VERDADEIRO.
Resposta
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Verdadeiro