Um trabalhador pode realizar dois níveis de esforço quando contratado por uma fábrica, alto ou baixo. A probabilidade de ocorrerem erros de produção é condicional ao nível de esforço do trabalhador. Se o trabalhador realiza o esforço alto a probabilidade de erro é 0,25 e se o trabalhador realiza o esforço baixo a probabilidade de erro se eleva para 0,75 . A função de utilidade do trabalhador é dada por: U(w, e)=100-\frac{10}{w}-e em que w é o salário do trabalhador e e o nível de esforço, que assume o valor e=2, no caso do trabalhador realizar o esforço alto, e e=0 no caso do trabalhador realizar esforço baixo. A única oportunidade de trabalho existente no mercado é dada por este posto na fábrica. O valor do produto depende de seu estado, ou seja, se o produto estiver perfeito o fabricante consegue vendê-lo a \mathrm{R} \ 20,00$ a unidade e se o produto apresentar algum defeito, devido aos erros de produção, o produto não é vendido e, portanto, seu valor é zero. Sabendo que o fabricante é neutro ao risco e maximiza o lucro esperado conhecendo as restrições do trabalhador, assinale falso ou verdadeiro e comente:
(a) O trabalhador irá sempre preferir realizar o nível de esforço baixo.
(b) O fabricante irá sempre preferir que o trabalhador realize o esforço baixo, pois o contrato que induz o trabalhador a realizar o esforço alto é muito desfavorável.
(c) Caso o fabricante queira que o trabalhador realize o esforço baixo deverá pagar salários distintos para cada estado da natureza, mas inferiores ao contrato proposto no caso de induzir o esforço alto.
(d) O salário pago para que o trabalhador realize o esforço baixo é dado por w=\frac{10}{100}.
(e) O vetor de salários ofertado ao trabalhador para que este realize o esforço alto é dado por w_{1}=\frac{10}{97}, w_{2}=\frac{10}{101}, em que w_{1} é o salário no estado da natureza em que não ocorrem erros de produção e w_{2} é o salário no estado da natureza em que ocorrem erros de produção.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Níveis de esforço: e=2 para esforço alto e e=0 para esforço baixo.
  • Probabilidade de erro (condicional ao esforço):
    • Se esforço alto: \Pr(\text{erro}\mid e=2)=0,25 \Rightarrow \Pr(\text{perfeito}\mid e=2)=0,75.
    • Se esforço baixo: \Pr(\text{erro}\mid e=0)=0,75 \Rightarrow \Pr(\text{perfeito}\mid e=0)=0,25.
  • Valor do produto: se perfeito, fábrica recebe \mathrm{R}\$\,20; se com erro, recebe 0.
  • Utilidade do trabalhador: U(w,e)=100-\dfrac{10}{w}-e. O salário pode ser dependente do estado da natureza: chamar w_1 o salário quando o produto é perfeito (nenhum erro) e w_2 o salário quando há erro.
  • O fabricante é neutro ao risco e maximiza lucro esperado, sabendo das restrições do trabalhador.
  • O exercício pede que cada afirmação (a)–(e) seja classificada como verdadeiro ou falso e comentada.

Passo 2

Escrever a utilidade esperada do trabalhador para um contrato (w_1,w_2) e esforço e.
Se o trabalhador escolhe esforço e, a sua utilidade esperada é a esperança de U sobre os estados:
\mathbb{E}[U\mid e] = 100 - \mathbb{E}\!\left[\frac{10}{w}\right] - e.
Para e=2 (alto):
\mathbb{E}[U\mid e=2] = 100 - \Big(0,75\cdot\frac{10}{w_1} + 0,25\cdot\frac{10}{w_2}\Big) - 2.
Para e=0 (baixo):
\mathbb{E}[U\mid e=0] = 100 - \Big(0,25\cdot\frac{10}{w_1} + 0,75\cdot\frac{10}{w_2}\Big) - 0.
Essas expressões são centrais: o trabalhador compara estas duas esperanças para decidir o esforço (incentive compatibility).

Passo 3

Derivar a condição de incentivo (incentive compatibility — IC) para que o trabalhador escolha esforço alto.
Queremos \mathbb{E}[U\mid e=2] \ge \mathbb{E}[U\mid e=0]. Substituindo:
100 - \big(0{,}75\cdot\tfrac{10}{w_1} + 0{,}25\cdot\tfrac{10}{w_2}\big) - 2 \ge 100 - \big(0{,}25\cdot\tfrac{10}{w_1} + 0{,}75\cdot\tfrac{10}{w_2}\big).
Cancelar 100 dos dois lados e reorganizar:
-0{,}75\cdot\tfrac{10}{w_1} - 0{,}25\cdot\tfrac{10}{w_2} - 2 \ge -0{,}25\cdot\tfrac{10}{w_1} - 0{,}75\cdot\tfrac{10}{w_2}.
Passando os termos com \tfrac{10}{w} para um lado:
\big(-0{,}75+0{,}25\big)\tfrac{10}{w_1} + \big(-0{,}25+0{,}75\big)\tfrac{10}{w_2} \ge 2.
Isso dá
-0{,}5\cdot\tfrac{10}{w_1} + 0{,}5\cdot\tfrac{10}{w_2} \ge 2.
Multiplicando por 2 para simplificar:
- \tfrac{10}{w_1} + \tfrac{10}{w_2} \ge 4.
Ou, escrevendo em termos de recíprocos:
\frac{1}{w_2} - \frac{1}{w_1} \ge 0{,}4.
Esta é a condição IC: o contrato deve recompensar mais (em termos de utilidade marginal do salário) o estado ruim relativamente ao bom o suficiente para compensar o custo adicional de esforço 2.

Passo 4

Escrever a restrição de participação (individual rationality — IR).
O trabalhador aceita o contrato só se sua utilidade esperada for pelo menos sua reserva. O enunciado diz que “a única oportunidade de trabalho … é este posto”, então assumimos a reserva igual a não trabalhar cuja utilidade vamos tomar como 0. Assim a participação exige:
\mathbb{E}[U\mid e] \ge 0.
Para o caso de querer induzir esforço baixo e usando um salário único w (mesmo em ambos os estados), a IR fica:
100 - \frac{10}{w} - 0 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{10}{w} \le 100 \quad\Longrightarrow\quad w \ge \frac{10}{100}=0{,}1.
Portanto, o menor salário constante que leva o trabalhador a aceitar e trabalhar com esforço baixo é w=0{,}1. Isso responde a parte da afirmação (d): esse valor é o mínimo que satisfaz a participação quando o salário é o mesmo em ambos os estados.

Passo 5

Determinar o contrato de mínimo custo que induz esforço alto (estratégia do fabricante).
O fabricante, sendo neutro ao risco, quer minimizar o seu gasto com salários sujeito a:
  • IC para esforço alto: \dfrac{1}{w_2}-\dfrac{1}{w_1}\ge 0{,}4\). - IR para o trabalhador: \(\mathbb{E}[U\mid e=2] \ge 0\), i.e. \[100 - \Big(0{,}75\cdot\tfrac{10}{w_1} + 0{,}25\cdot\tfrac{10}{w_2}\Big) - 2 \ge 0.
É padrão em problemas de mínimo custo que o fabricante escolha o contrato fazendo as restrições vincularem (IC e IR ativas), porque qualquer folga permitiria reduzir pagamentos. Então tomamos as igualdades:
  1. IC como igualdade:
\frac{10}{w_2}-\frac{10}{w_1} = 4.
(escrevi multiplicando a desigualdade por 10 para simplificar).
  1. IR como igualdade:
0{,}75\cdot\frac{10}{w_1} + 0{,}25\cdot\frac{10}{w_2} = 98.
(veja que isso vem de 100 - (\cdots) - 2 = 0\Rightarrow (\cdots)=98).
Agora resolvemos este sistema linear em A=\dfrac{10}{w_1} e B=\dfrac{10}{w_2}:
\begin{cases} B - A = 4,\\[4pt] 0{,}75 A + 0{,}25 B = 98. \end{cases}
Da primeira equação B=A+4\]. Substituindo na segunda: \[0{,}75A + 0{,}25(A+4)=98 \quad\Rightarrow\quad A + 1 = 98 \quad\Rightarrow\quad A=97.\] Então \(B=97+4=101.
Agora voltamos aos salários:
\frac{10}{w_1}=97 \quad\Rightarrow\quad w_1=\frac{10}{97},
\frac{10}{w_2}=101 \quad\Rightarrow\quad w_2=\frac{10}{101}.
Portanto o contrato de custo mínimo que induz esforço alto tem exatamente o vetor \big(w_1,w_2\big)=\big(\tfrac{10}{97},\,\tfrac{10}{101}\big). Note que essa solução satisfaz IC e IR com igualdade (IC: 1/w_2-1/w_1=0{,}4; IR: utilidade esperada igual a zero).
Isto mostra que a afirmação (e) é correta (verdadeira).]

Passo 6

Comparar lucros do fabricante sob cada regime (baixo e alto esforço) usando os contratos minimamente custosos.
Lucro esperado do fabricante quando o trabalhador escolhe e é:
\Pi(e)=\Pr(\text{perfeito}\mid e)\cdot 20 - \mathbb{E}[\text{wage}\mid e].
  1. Se o fabricante quiser esforço baixo, um contrato simples e de menor custo é salário constante w=0{,}1 (do Passo 4). Então:
\mathbb{E}[\text{wage}\mid e=0] = 0{,}25\cdot 0{,}1 + 0{,}75\cdot 0{,}1 = 0{,}1.
A receita esperada com esforço baixo é 0{,}25\cdot 20 = 5. Logo
\Pi_{\text{baixo}} = 5 - 0{,}1 = 4{,}9.
  1. Para induzir esforço alto, usar o contrato do Passo 5 com w_1=\tfrac{10}{97} e w_2=\tfrac{10}{101}. A receita esperada com esforço alto é 0{,}75\cdot 20 = 15. O salário esperado é
\mathbb{E}[\text{wage}\mid e=2]=0{,}75\cdot\frac{10}{97}+0{,}25\cdot\frac{10}{101}.
Calculemos numericamente (mostrando os passos):
\frac{10}{97}\approx 0{,}10309278,\qquad \frac{10}{101}\approx 0{,}09900990.
Logo
\mathbb{E}[\text{wage}\mid e=2]\approx 0{,}75\cdot 0{,}10309278 + 0{,}25\cdot 0{,}09900990 \approx 0{,}0773196 + 0{,}0247525 \approx 0{,}1020721.
Portanto
\Pi_{\text{alto}} \approx 15 - 0{,}1020721 \approx 14{,}8979.
Comparação: 14{,}8979 > 4{,}9. O fabricante obtém lucro muito maior ao induzir esforço alto com o contrato acima do que ao aceitar esforço baixo com o salário mínimo. Assim a afirmação (b) — que o fabricante sempre preferirá esforço baixo — é falsa.

Passo 7

Responder e comentar cada afirmação (resumo didático e amigável):
(a) “O trabalhador irá sempre preferir realizar o nível de esforço baixo.”
  • Comentário: Em geral, com salário não dependente do estado, o trabalhador prefere esforço baixo porque e aparece negativamente na utilidade. Mas o empregador pode oferecer um contrato ligado ao resultado que torne a utilidade esperada com esforço alto maior — como vimos no Passo 5. Logo a afirmação “sempre preferir” é falsa: pode-se induzir esforço alto por contrato. Portanto (a) é FALSO.
(b) “O fabricante irá sempre preferir que o trabalhador realize o esforço baixo, pois o contrato que induz o trabalhador a realizar o esforço alto é muito desfavorável.”
  • Comentário: Calculamos os lucros ótimos em cada caso; induzir esforço alto (usando o contrato que torna IC e IR vinculantes) gera lucro esperado muito maior que aceitar esforço baixo com salário mínimo. Logo o fabricante prefere esforço alto. A justificativa da frase é errada, logo (b) é FALSO.
(c) “Caso o fabricante queira que o trabalhador realize o esforço baixo deverá pagar salários distintos para cada estado da natureza, mas inferiores ao contrato proposto no caso de induzir o esforço alto.”
  • Comentário: Para induzir esforço baixo não é necessário pagar salários distintos por estado; um salário constante w=0{,}1 (menor ou igual ao que o trabalhador aceitaria) já basta. Além disso, nem todos os salários por estado seriam simultaneamente inferiores aos salários do contrato que induz esforço alto (note que w_2=\tfrac{10}{101}\approx0{,}0990 é menor que 0{,}1, mas w_1=\tfrac{10}{97}\approx0{,}10309 é maior que 0{,}1). Portanto a afirmação é incorreta: (c) é FALSO.
(d) “O salário pago para que o trabalhador realize o esforço baixo é dado por w=\dfrac{10}{100}.”
  • Comentário: Interpretação razoável: o menor salário constante que satisfaz a participação quando o trabalhador fará esforço baixo é w=\dfrac{10}{100}=0{,}1 (veja Passo 4). Assim, como mínimo necessário para que o trabalhador aceite e exerça esforço baixo, essa expressão está correta. Portanto (d) é VERDADEIRO (tratando-se do salário mínimo compatível com IR ao oferecer salário constante).
(e) “O vetor de salários ofertado ao trabalhador para que este realize o esforço alto é dado por w_{1}=\dfrac{10}{97}, w_{2}=\dfrac{10}{101}, em que w_{1} é o salário no estado sem erros e w_{2} no estado com erros.”
  • Comentário: Resolvendo IC e IR vinculadas (como no Passo 5) obtivemos exatamente esse vetor. Verificou-se que IC e IR seguram com igualdade e que esse contrato minimiza o custo do empregador para induzir esforço alto. Portanto (e) é VERDADEIRO.

Resposta

(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Verdadeiro

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