Considere um cartel entre duas empresas. Diz-se que uma empresa coopera com o cartel quando restringe sua produção para aumentar os lucros do cartel, e diz-se que uma empresa não coopera quando ela mantém sua produção ao nível determinado pela solução de Cournot, ainda que a outra empresa coopere e restrinja a sua produção. Suponha que o lucro de uma delas quando não coopera e a outra empresa coopera é de 1.600 , que o lucro da empresa quando ambas cooperam com o cartel é de 1.400, e que o lucro de cada uma das empresas se ambas não cooperarem é de 1.200. Expresse em percentual o valor mínimo do fator de desconto para promover o sucesso do cartel, se ambas as empresas adotarem a estratégia gatilho.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
-
Dados (retirados do enunciado):
- Lucro da empresa que desvia quando a outra coopera:
. - Lucro de cada empresa quando ambas cooperam:
. - Lucro de cada empresa quando ambas não cooperam:
.
- Lucro da empresa que desvia quando a outra coopera:
-
Pergunta:
- Expressar, em percentual, o valor mínimo do fator de desconto
que torna possível o sucesso do cartel quando ambas as empresas usam a estratégia gatilho (grim trigger).
- Expressar, em percentual, o valor mínimo do fator de desconto
Passo 2
Entendendo a estratégia e a lógica do cálculo (explicação didática):
-
O fator de desconto
mede quanto as empresas valorizam lucros futuros em comparação com lucros presentes. Vai de (só importa o presente) a (valoriza muito o futuro). -
Estratégia gatilho (grim trigger): as empresas cooperam hoje; se alguém desvia uma vez, as duas passam a não cooperar para sempre depois (punição eterna).
-
Para que a cooperação seja um equilíbrio, um empresário deve preferir não desviar agora. Ou seja, o valor presente de cooperar perpetuamente deve ser ao menos tão grande quanto a tentação de desviar hoje e sofrer a punição eterna a partir do próximo período.
-
Valor presente da cooperação perpétua (sejam lucros per period
): Explicação: é a soma infinitaque soma para . -
Valor presente para quem desvia uma vez:
- Recebe
no período da deviância (agora), - A partir do próximo período recebe
para sempre (punição). - Logo
- Recebe
Passo 3
Escrevendo a condição de incentivo (não querer desviar):
-
A cooperação é autossustentável se
-
Multiplicando ambos os lados por
(válido pois ): -
Isolando
: -
Como
é negativo (a deviância rende mais que a punição), é conveniente rearranjar para obter positivo: (Aqui subtraiu-see trocou sinal no numerador e denominador para ter quantidades positivas.)
Passo 4
Substituindo os valores numéricos e calculando passo a passo:
- Calcular diferenças:
- Portanto
Passo 5
Interpretação final e comentário motivador:
- O fator de desconto mínimo exigido para que o cartel seja sustentável com estratégia gatilho é
. - Em termos intuitivos: cada empresa precisa valorizar pelo menos metade do valor futuro em relação ao presente para que a ameaça da punição eterna torne a cooperação credível. Se as empresas forem muito impacientes (
), a tentação de desviar hoje (ganho imediato) supera o custo da punição futura, e o cartel não se sustenta. - Força aí — com isso você já sabe o cálculo e a intuição por trás!