Considere um cartel entre duas empresas. Diz-se que uma empresa coopera com o cartel quando restringe sua produção para aumentar os lucros do cartel, e diz-se que uma empresa não coopera quando ela mantém sua produção ao nível determinado pela solução de Cournot, ainda que a outra empresa coopere e restrinja a sua produção. Suponha que o lucro de uma delas quando não coopera e a outra empresa coopera é de 1.600 , que o lucro da empresa quando ambas cooperam com o cartel é de 1.400, e que o lucro de cada uma das empresas se ambas não cooperarem é de 1.200. Expresse em percentual o valor mínimo do fator de desconto para promover o sucesso do cartel, se ambas as empresas adotarem a estratégia gatilho.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados (retirados do enunciado):
    • Lucro da empresa que desvia quando a outra coopera: \pi_D = 1{,}600.
    • Lucro de cada empresa quando ambas cooperam: \pi_C = 1{,}400.
    • Lucro de cada empresa quando ambas não cooperam: \pi_N = 1{,}200.
  • Pergunta:
    • Expressar, em percentual, o valor mínimo do fator de desconto \delta que torna possível o sucesso do cartel quando ambas as empresas usam a estratégia gatilho (grim trigger).

Passo 2

Entendendo a estratégia e a lógica do cálculo (explicação didática):
  • O fator de desconto \delta mede quanto as empresas valorizam lucros futuros em comparação com lucros presentes. Vai de 0 (só importa o presente) a 1 (valoriza muito o futuro).
  • Estratégia gatilho (grim trigger): as empresas cooperam hoje; se alguém desvia uma vez, as duas passam a não cooperar para sempre depois (punição eterna).
  • Para que a cooperação seja um equilíbrio, um empresário deve preferir não desviar agora. Ou seja, o valor presente de cooperar perpetuamente deve ser ao menos tão grande quanto a tentação de desviar hoje e sofrer a punição eterna a partir do próximo período.
  • Valor presente da cooperação perpétua (sejam lucros per period \pi_C):
    \text{PV}_{\text{coop}}=\frac{\pi_C}{1-\delta}.
    Explicação: é a soma infinita \pi_C + \delta\pi_C + \delta^2\pi_C+\dots que soma para \pi_C/(1-\delta).
  • Valor presente para quem desvia uma vez:
    • Recebe \pi_D no período da deviância (agora),
    • A partir do próximo período recebe \pi_N para sempre (punição).
    • Logo
    \text{PV}_{\text{desv}}=\pi_D+\frac{\delta\,\pi_N}{1-\delta}.

Passo 3

Escrevendo a condição de incentivo (não querer desviar):
  • A cooperação é autossustentável se
    \frac{\pi_C}{1-\delta}\ge \pi_D+\frac{\delta\,\pi_N}{1-\delta}.
  • Multiplicando ambos os lados por 1-\delta (válido pois 0\le\delta<1):
    \pi_C \ge \pi_D + \delta(\pi_N-\pi_D).
  • Isolando \delta:
    \pi_C-\pi_D \ge \delta(\pi_N-\pi_D).
  • Como \pi_N-\pi_D é negativo (a deviância rende mais que a punição), é conveniente rearranjar para obter \delta positivo:
    \delta \ge \frac{\pi_D-\pi_C}{\pi_D-\pi_N}.
    (Aqui subtraiu-se \pi_C e trocou sinal no numerador e denominador para ter quantidades positivas.)

Passo 4

Substituindo os valores numéricos e calculando passo a passo:
  • Calcular diferenças: \pi_D-\pi_C = 1{,}600-1{,}400=200,
\pi_D-\pi_N = 1{,}600-1{,}200=400.
  • Portanto \delta \ge \frac{200}{400}=\frac{1}{2}=0{,}5.

Passo 5

Interpretação final e comentário motivador:
  • O fator de desconto mínimo exigido para que o cartel seja sustentável com estratégia gatilho é \delta=0{,}5.
  • Em termos intuitivos: cada empresa precisa valorizar pelo menos metade do valor futuro em relação ao presente para que a ameaça da punição eterna torne a cooperação credível. Se as empresas forem muito impacientes ( \delta<0{,}5), a tentação de desviar hoje (ganho imediato) supera o custo da punição futura, e o cartel não se sustenta.
  • Força aí — com isso você já sabe o cálculo e a intuição por trás!

Resposta

50\%

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