Qual o trabalho realizado por uma força (em Newtons), onde x está em metros, que é exercida sobre uma partícula enquanto ela se move da posição inicial (em metros) até a posição final (em metros)? Considere que esta partícula se desloca inicialmente seguindo a trajetória y(x)=x+1 e repete o movimento agora numa trajetória parabólica y(x)=-x^2 / 2+5.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para calcular o trabalho realizado por uma força sobre uma partícula que se move de uma posição inicial até uma posição final, seguindo duas trajetórias diferentes. O conteúdo envolvido é o cálculo do trabalho por uma força variável ao longo de um caminho. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do trabalho no campo de força e entender como parametrizar as trajetórias dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho em física. O trabalho W = integralC F cdot dr realizado por uma força ao mover uma partícula ao longo de um caminho é dado pela integral de linha:
Aqui, representa o produto escalar entre a força e o deslocamento infinitesimal.
Passo 3
Agora, vamos entender as trajetórias que a partícula segue. Temos duas curvas:
Retidão:
Parábola:
Vamos calcular o trabalho para cada uma dessas trajetórias separadamente e depois somar os resultados.
Passo 4
Vamos começar pela primeira trajetória, a retidão x + 1 = -x^22 + 5 , indo de Rightarrow x^22 + x - 4 = 0 até um ponto intermediário que vamos determinar.
Primeiro, identificamos que na retidão, quando x^2 + 2x - 8 = 0 , x = -2 pm raiz4 + 322 = -2 pm 62 . E queremos chegar até a posição final .
Para encontrar o ponto intermediário onde muda a trajetória, precisamos resolver a interseção das duas curvas:
Multiplicando tudo por 2 para facilitar:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, ou . O ponto já é nosso ponto inicial, então o ponto intermediário é .
Então, a partícula vai de até primeiro pela reta, depois pela parábola.
Passo 5
Vamos parametrizar o deslocamento y = x + 1 Rightarrow dy = dx para a primeira trajetória (reta):
dr = dx,i + dy,j = dx,i + dx,j = dx,(i + j)
Então, o vetor deslocamento infinitesimal é:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar F = 2x,i + 3,j na primeira trajetória:
F cdot dr = (2x,i + 3,j) cdot (dx,i + dx,j) = 2x,dx + 3,dx = (2x + 3),dx
Agora, vamos para a segunda trajetória, a parábola , indo de até (já que esse é o ponto final). Porém, percebemos que a posição final já está alcançada, então na verdade não há deslocamento adicional nessa trajetória específica. Portanto, o trabalho realizado na segunda trajetória é zero.
Resposta
O trabalho total realizado pela força durante todo o deslocamento é de -6 Joules.