O trabalho realizado por um mol de um gás perfeito monoatômico
ao se expandir adiabaticamente é igual a 825 J. Os valores iniciais da temperatura e do volume do gás são 393 K e
, respectivamente. Obtenha (a) a temperatura final e (b) o volume final do gás.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um gás perfeito monoatômico que está se expandindo de forma adiabática, ou seja, sem troca de calor com o ambiente. O trabalho realizado por esse gás durante essa expansão é de 825 J. A temperatura inicial do gás é 393 K e o volume inicial é 0,100 m³. A gente precisa descobrir:
a) A temperatura final do gás.
b) O volume final do gás.
Para resolver isso, vamos usar as leis dos gases ideais e as relações específicas para processos adiabáticos. Vamos precisar saber que a relação adiabática para um gás perfeito é dada por $ PV^\gamma = constante $ e que a relação entre temperatura e volume em um processo adiabático é $ TV^{\gamma-1} = constante $. Aqui, $ \gamma $ é o coeficiente adiabático, que para um gás monoatômico é $ \frac{5}{3} $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um processo adiabático, o trabalho $ W $ realizado pelo gás está relacionado à mudança de energia interna. A fórmula para o trabalho em um processo adiabático é:
Onde:
- $ W $ é o trabalho realizado (825 J),
- $ n $ é o número de mols (1 mol),
- $ R $ é a constante dos gases (aprox. 8,314 J/mol·K),
- $ T_i $ é a temperatura inicial (393 K),
- $ T_f $ é a temperatura final que queremos encontrar,
- $ \gamma $ é o coeficiente adiabático (5/3),
- $ \gamma - 1 $ fica a gente com $ \frac{2}{3} $.
Vamos reorganizar a fórmula para resolver $ T_f $:
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na fórmula para achar a temperatura final $ T_f $:
Primeiro, calculamos o numerador:
Agora, dividimos pelo denominador:
Então, subtraímos isso da temperatura inicial:
Arredondando, temos $ T_f \approx 327,K $.
Passo 4
Agora que temos a temperatura final, vamos encontrar o volume final usando a relação adiabática entre temperatura e volume:
Podemos reorganizar para resolver $ V_f $:
Sabemos que $ \gamma - 1 = \frac{2}{3} $, então $ \frac{1}{\gamma - 1} = \frac{3}{2} $.
Substituindo os valores:
Primeiro, calculamos a razão das temperaturas:
Elevando ao expoente $ \frac{3}{2} $:
Multiplicando pelo volume inicial:
Arredondando, $ V_f \approx 0,132,m^3 $.
Resposta
a) A temperatura final do gás é aproximadamente 327 K.
b) O volume final do gás é aproximadamente 0,132 m³.