O trabalho realizado por um mol de um gás perfeito monoatômico (gamma=5 / 3) ao se expandir adiabaticamente é igual a 825 J. Os valores iniciais da temperatura e do volume do gás são 393 K e 0,100 m^3, respectivamente. Obtenha (a) a temperatura final e (b) o volume final do gás.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um gás perfeito monoatômico que está se expandindo de forma adiabática, ou seja, sem troca de calor com o ambiente. O trabalho realizado por esse gás durante essa expansão é de 825 J. A temperatura inicial do gás é 393 K e o volume inicial é 0,100 m³. A gente precisa descobrir:
a) A temperatura final do gás.
b) O volume final do gás.
Para resolver isso, vamos usar as leis dos gases ideais e as relações específicas para processos adiabáticos. Vamos precisar saber que a relação adiabática para um gás perfeito é dada por $ PV^\gamma = constante $ e que a relação entre temperatura e volume em um processo adiabático é $ TV^{\gamma-1} = constante $. Aqui, $ \gamma $ é o coeficiente adiabático, que para um gás monoatômico é $ \frac{5}{3} $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um processo adiabático, o trabalho $ W $ realizado pelo gás está relacionado à mudança de energia interna. A fórmula para o trabalho em um processo adiabático é:
W
Onde:
  • $ W $ é o trabalho realizado (825 J),
  • $ n $ é o número de mols (1 mol),
  • $ R $ é a constante dos gases (aprox. 8,314 J/mol·K),
  • $ T_i $ é a temperatura inicial (393 K),
  • $ T_f $ é a temperatura final que queremos encontrar,
  • $ \gamma $ é o coeficiente adiabático (5/3),
  • $ \gamma - 1 $ fica a gente com $ \frac{2}{3} $.
Vamos reorganizar a fórmula para resolver $ T_f $:
W = n R (Ti - Tf)gamma - 1

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na fórmula para achar a temperatura final $ T_f $:
Tf
Primeiro, calculamos o numerador:
Tf = 393,K - 825,J times 231,mol times 8,314,J/mol·K
Agora, dividimos pelo denominador:
825 times 23 = 550,J
Então, subtraímos isso da temperatura inicial:
550,J8,314,J/mol·K approx 66,15,K
Arredondando, temos $ T_f \approx 327,K $.

Passo 4

Agora que temos a temperatura final, vamos encontrar o volume final usando a relação adiabática entre temperatura e volume:
Ti Vi^gamma - 1 = Tf Vf^gamma - 1
Podemos reorganizar para resolver $ V_f $:
Vf
Sabemos que $ \gamma - 1 = \frac{2}{3} $, então $ \frac{1}{\gamma - 1} = \frac{3}{2} $.
Substituindo os valores:
Vf = Vi ( TiTf )^1gamma - 1
Primeiro, calculamos a razão das temperaturas:
gamma - 1 = 23
Elevando ao expoente $ \frac{3}{2} $:
1gamma - 1 = 32
Multiplicando pelo volume inicial:
Vf = 0,100,m^3 ( 393,K327,K )^32
Arredondando, $ V_f \approx 0,132,m^3 $.

Resposta

a) A temperatura final do gás é aproximadamente 327 K.
b) O volume final do gás é aproximadamente 0,132 m³.

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