A tração no cabo AB é 19500 N . Os 3 cabos, AB, AC e AD, tem o mesmo comprimento de 19,5 m. Considerando que o ângulo alpha=10^circ, e que as tensões nos cabos AD e AC foram ajustadas de tal forma que a resultante dos 3 cabos sobre a estrutura AO fique perpendicular à superfície do solo, que é o plano xz, ou seja, fique alinhada com a estrutura vertical. Determine as tensões necessárias nas cordas AC e AD, e a intensidade da resultante dos 3 cabos.

Passo 1

Então, o exercício diz o seguinte: temos um ponto A lá no alto de uma estrutura vertical (vamos chamar de AO) e dele saem três cabos idênticos, todos de comprimento 19,5 m, que vão até pontos B, C e D no solo (que é o plano xz). Sabe-se que o cabo AB suporta tensão T_AB = 19 500 N e que todos os cabos fazem o mesmo ângulo α = 10° com a vertical. Ajustaram as tensões em AC e AD de modo que a força resultante dos três cabos em A fique totalmente vertical (isto é, sem componente no solo).
Conteúdo que usamos: decomposição de forças em componentes, soma vetorial e equilíbrio (componentes horizontais nulas).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a geometria:
  1. Cada cabo faz ângulo α = 10° com a vertical (eixo y).
  2. No plano horizontal (x–z), os cabos estão espaçados regularmente em 120° (AB em 0°, AC em 120° e AD em 240°).
  3. Para cada cabo i, a força é T_i na direção do cabo. Podemos escrever em componentes:
    – componente vertical (eixo y): T_i cos α
    – componente horizontal (no plano xz): T_i sin α, apontando numa direção azimutal θ_i (0°, 120° ou 240°).

Passo 3

Equilíbrio horizontal (queremos resultante horizontal = zero). Sejam û_AB, û_AC e û_AD os versores horizontais de cada cabo:
û_AB = (1,0) em (x,z)
û_AC = (cos 120°, sin 120°) = (−½, √3/2)
û_AD = (cos 240°, sin 240°) = (−½, −√3/2)
A soma das forças horizontais é
T_AB·sin α·û_AB + T_AC·sin α·û_AC + T_AD·sin α·û_AD = 0
Como sin α ≠ 0, dividimos tudo por sin α e temos o sistema em x e z:
  1. Eixo x:
    19 500·(1) + T_AC·(−½) + T_AD·(−½) = 0
    ⇒ 19 500 − ½·T_AC − ½·T_AD = 0
    ⇒ T_AC + T_AD = 2·19 500
  2. Eixo z:
    19 500·(0) + T_AC·(√3/2) + T_AD·(−√3/2) = 0
    ⇒ (√3/2)(T_AC − T_AD) = 0
    ⇒ T_AC = T_AD

Passo 4

Da eq. do z veio T_AC = T_AD. Substituindo na eq. do x:
T_AC + T_AC = 2·19 500
2·T_AC = 39 000
T_AC = 19 500 N
E assim T_AD = 19 500 N também. Ou seja, todos os cabos têm a mesma tensão.

Passo 5

Agora a resultante total em A, R, é só a soma das componentes verticais (todas as horizontais se anulam):
R_y = T_AB·cos α + T_AC·cos α + T_AD·cos α
= (19 500 + 19 500 + 19 500)·cos 10°
= 3·19 500 · cos 10°
= 58 500 · 0,9848…
≃ 57 650 N

Resposta

T_AC = 19 500 N
T_AD = 19 500 N
|R| ≃ 5,77×10^4 N

Exercícios relacionados