(a) Trace a epitrocoide com equações
x = 11 cos(t) - 4 cos(11 t / 2) y = 11 sen(t) - 4 sen(11 t / 2)
Qual intervalo do parâmetro fornece a curva completa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para traçarmos uma epitrocoide usando as equações paramétricas:
Além disso, precisamos descobrir qual intervalo do parâmetro gera a curva completa. Para isso, vamos usar conceitos de trigonometria e períodos de funções periódicas.

Passo 2

Primeiro, entendamos o que é uma epitrocoide. É uma curva traçada por um ponto fixo em um círculo que rola sobre a parte externa de outro círculo. As equações dadas combinam duas funções trigonométricas com diferentes frequências.

Passo 3

Vamos analisar os períodos das funções envolvidas. O período de uma função ou é . Já para e , o período é calculado dividindo pela frequência:
í

Passo 4

Para que a epitrocoide seja completa, precisamos encontrar o menor intervalo de onde ambas as funções completam um número inteiro de ciclos. Isso significa que o intervalo deve ser múltiplo comum de e .

Passo 5

Vamos encontrar o menor múltiplo comum (MMC) dos períodos e . Representamos como:
Dividindo ambos os lados por :
Para que seja inteiro, deve ser múltiplo de 11. Assim, seja , onde é um inteiro.

Passo 6

Substituindo na equação de :
O menor valor positivo para é 1, então o menor intervalo completo é .

Resposta

O intervalo do parâmetro que fornece a curva completa é de a .

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