Um TRAFO ideal 13800 / 220 \mathrm{~V} energiza uma carga indutiva de impedância Z_{L}=30+j \cdot 40 \Omega conectada no secundário. Determine:
a) A corrente no secundário: I_{2};
b) A impedância vista do lado da fonte principal (rebatida do secundário para o primário);
c) A corrente no primário: I_{1};
d) A potência aparente consumida pelo sistema (TRAFO e carga).

Passo 1

O enunciado fornece um transformador ideal com tensões nominais primário/ secundário e uma carga indutiva no secundário, e pede quatro coisas. Vou listar claramente os dados e o que é pedido.
Dados:
V_1 = 13\,800\\ \mathrm{V}
V_2 = 220\\ \mathrm{V}
Z_L = 30 + j\,40\\ \Omega \quad\text{(impedância conectada ao secundário)}âá
O que foi perguntado:
a) Calcular a corrente no secundário \,I_2.
b) Determinar a impedância vista do lado da fonte (primário), ou seja a impedância do secundário rebatida para o primário.
c) Calcular a corrente no primário \,I_1.
d) Determinar a potência aparente consumida pelo sistema (transformador ideal + carga).
Neste passo não vou resolver nada — apenas organizei os dados e as perguntas para a gente não se perder.

Passo 2

Cálculo de \,I_2 (corrente no secundário). Conceito rápido: a corrente de um circuito com tensão aplicada V e impedância Z é dada pela lei de Ohm em forma fasorial:
I=\frac{V}{Z}.
Aqui V_2 é a tensão aplicada ao secundário e Z_L é a impedância do mesmo ramo, então
I_2=\frac{V_2}{Z_L}=\frac{220}{30 + j\,40}\\ \mathrm{A}.
Como dividir números complexos: usamos a multiplicação pelo conjugado do denominador para eliminar a parte imaginária no denominador. O conjugado de 30 + j\,40 é 30 - j\,40. Então
I_2=\frac{220(30 - j\,40)}{30^2 + 40^2}.
Calculemos passo a passo:
30^2+40^2=900+1600=2500.
220(30 - j\,40)=220\cdot 30 - j\,220\cdot 40 = 6600 - j\,8800.
Dividindo por 2500:
I_2=\frac{6600}{2500} - j\frac{8800}{2500}=2,64 - j\,3,52\\ \mathrm{A}.
Podemos também dar a magnitude e o ângulo (útil para entender defasagem):
|I_2|=\sqrt{2,64^2+(-3,52)^2}=\sqrt{19,36}=4,4\\ \mathrm{A},
\angle I_2=\arctan\!\left(\frac{-3,52}{2,64}\right) \approx -53,13^\circ.

Passo 3

Impedância rebatida para o primário ( Z_{p}). Conceito: num transformador ideal a relação das tensões e das correntes entre primário e secundário é
\frac{V_1}{V_2}=a,
onde a é a razão de transformação. Para a impedância vista do lado do primário quando se tem uma impedância no secundário vale:
Z_{p}=a^2 Z_L,
ou seja, a impedância é escalada pelo quadrado da razão de tensões.
Calcule a:
a=\frac{V_1}{V_2}=\frac{13\,800}{220}=\frac{690}{11}\approx 62,727272\ldots
Agora a^2:
a^2=\left(\frac{690}{11}\right)^2=\frac{476100}{121}\approx 3\,934,7107438.
Multiplicando por Z_L:
Z_{p}=a^2(30 + j\,40).
Vamos multiplicar as partes real e imaginária:
\Re(Z_{p})=a^2\cdot 30 \approx 3\,934,7107438\cdot 30 \approx 118\,041,3223\\ \Omega,
\Im(Z_{p})=a^2\cdot 40 \approx 3\,934,7107438\cdot 40 \approx 157\,388,4297\\ \Omega.
Logo
Z_{p}\approx 118\,041,32 + j\,157\,388,43\\ \Omega.
Observação intuitiva: uma pequena impedância no secundário vira uma impedância grande vista pelo primário quando a razão de tensões é grande — por isso transformadores “aumentam” impedâncias vistas.

Passo 4

Cálculo de \,I_1 (corrente no primário). Dois caminhos equivalentes:
  1. Usando a relação de correntes de transformador ideal:
\frac{I_1}{I_2}=\frac{N_2}{N_1}=\frac{1}{a}\quad\Rightarrow\quad I_1=\frac{I_2}{a}.
  1. Ou usando I_1=\dfrac{V_1}{Z_{p}} (mesmo resultado pois Z_p é a impedância rebatida).
Vou usar o método 1 porque é direto. Já temos I_2=2,64 - j\,3,52\\ \mathrm{A} e a\approx 62,727272. Então
I_1=\frac{I_2}{a}=\frac{2,64 - j\,3,52}{62,727272\ldots}.
Dividindo componente a componente:
I_1\approx 0,042117 - j\,0,056176\\ \mathrm{A}.
Magnitude e ângulo:
|I_1|=\frac{|I_2|}{a}=\frac{4,4}{62,727272\ldots}\approx 0,070175\\ \mathrm{A},
\angle I_1=\angle I_2\approx -53,13^\circ.
(A verificação com I_1=V_1/Z_p dará o mesmo resultado, apenas com pequenas diferenças de arredondamento.)

Passo 5

Potência aparente consumida pelo sistema. Conceito: a potência aparente (complexa) fornecida a uma carga é
S=V\,I^*,
onde I^* é o conjugado da corrente fasorial. Para um transformador ideal, não há perdas, então a potência aparente fornecida pelo primário é igual à potência aparente absorvida pela carga no secundário. É mais simples calcular no secundário:
S=V_2\,I_2^*.
Já sabemos V_2=220 e I_2=2,64 - j\,3,52, então I_2^*=2,64 + j\,3,52. Multiplicando:
S=220(2,64 + j\,3,52)=220\cdot 2,64 + j\,220\cdot 3,52 = 580,8 + j\,774,4\\ \mathrm{VA}.
Interpretação:
P=\Re(S)=580,8\\ \mathrm{W}\quad\text{(potência ativa)}ê
Q=\Im(S)=774,4\\ \mathrm{VAr}\quad\text{(potência reativa, positiva → indutiva).}ê
A magnitude da potência aparente é
|S|=V_2|I_2|=220\cdot 4,4=968\\ \mathrm{VA},
e o ângulo de S é \arctan(Q/P)=\arctan(774,4/580,8)\approx 53,13^\circ, o que é consistente com o fato de I estar atrasada em relação à tensão por 53,13^\circ.

Resposta

\displaystyle I_2 = 2,64 - j\,3,52\\ \mathrm{A}\quad(|I_2|=4,4\\ \mathrm{A},\\ \angle -53,13^\circ)\n
\displaystyle Z_{p} \approx 118\,041,32 + j\,157\,388,43\\ \Omega\n
\displaystyle I_1 \approx 0,04212 - j\,0,05618\\ \mathrm{A}\quad(|I_1|\approx 0,07018\\ \mathrm{A},\\ \angle -53,13^\circ)\n
\displaystyle S = 580,8 + j\,774,4\\ \mathrm{VA}\quad(|S|=968\\ \mathrm{VA})

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