No trajecto de um avião de guerra há duas estações de radar inimigas equipadas com baterias antiaéreas, que só são acionadas se o avião for detectado. O avião tem uma probabilidade de 0.25 de ser detectado pela primeira estação e, sendo detectado, tem três hipóteses em cinco de não ser abatido por essa estação. Se o avião não é detectado pela primeira estação, aproxima-se da segunda nas mesmas condições em que da primeira. Por outro lado, se a primeira estação o detectar sem o abater, será certamente detectado e abatido pela segunda estação. 0 avião foi abatido. Qual a probabilidade de ter sido a primeira estação a abatê-la?
a. 0.126
b. 0.256
c. 0.426
d. 0.308
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Passo 1

O enunciado diz que o avião tem probabilidade ,0,25 de ser detectado pela primeira estação. Se for detectado, sobrevive com probabilidade tfrac35=0,6 e então é abatido com probabilidade 1-0,6=0,4. Se não for detectado pela primeira estação (probabilidade 0,75), chega à segunda estação com as mesmas chances de detecção e abate ( 0,25 e, dado detectado, abate com 0,4). Além disso, se a primeira estação detectar mas não abater, a segunda o detecta e abate com probabilidade 1.
Conteúdo: probabilidade condicional e teorema da probabilidade total.

Passo 2

Calculamos a probabilidade de o avião ser abatido pela primeira estação, ou seja, ser detectado e abatido ali:
P(abatido na 1) = P(detecta1)times P(abate1mid detecta1) =0,25times0,4=0,10

Passo 3

Agora achamos a probabilidade de ser abatido pela segunda estação. Há dois casos:
Caso A: é detectado pela 1ª e sobrevive lá, depois é certamente abatido na 2ª.
PA = P(detecta1)times P(sobrevive1mid detecta1) times1 =0,25times0,6=0,15
Caso B: não é detectado pela 1ª (prob. 0,75), vai à 2ª, é detectado lá e abatido com probabilidade 0,4:
PB =0,75times0,25times0,4=0,075
Somando,
P(abatido na 2) = PA + PB =0,15+0,075=0,225

Passo 4

Usando o teorema da probabilidade total, a probabilidade de o avião ser abatido em alguma estação é
P(abatido) = P(abatido na 1) + P(abatido na 2) =0,10 + 0,225=0,325
Queremos P(1ª mid abatido)ª. Pela definição de probabilidade condicional,
P(1ª mid abatido) = P(abatido na 1)P(abatido) = 0,100,325approx0,3077 ª

Resposta

Arredondando, a probabilidade de ter sido a primeira estação a abatê-lo é boxed0,308.

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