Transferência de Calor em Estado Estacionário em Cilindros Infinitos sem Geração
Condições operacionais:
\mathrm{T}_{1}=120^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{h}_{1}=12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} \mathrm{~T}_{2}=25^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{h}_{2}=5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}
\mathrm{~L}=5 \mathrm{~m} \mathrm{R}_{1}=10 \mathrm{~cm} \mathrm{R}_{2}=20 \mathrm{~cm} \mathrm{R}_{3}=25 \mathrm{~cm}
\mathrm{k}=14 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} \mathrm{k}_{1}=0,05 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}
Determine:
A temperatura em e;

Passo 1

O enunciado descreve transferência de calor estacionária em cilindros infinitos sem geração, compostos por um tubo metálico (condutividade k) de raio interno R_{1} e raio externo R_{2}, revestido por uma camada isolante (condutividade k_{1}) que se estende até o raio R_{3}. No interior há convecção com coeficiente h_{1} e temperatura do fluido T_{1}, e no exterior convecção com coeficiente h_{2} e temperatura ambiente T_{2}. Dados:
\,T_{1}=120^\circ\mathrm{C},\;h_{1}=12\;\mathrm{W/m^{2}K},\;T_{2}=25^\circ\mathrm{C},\;h_{2}=5\;\mathrm{W/m^{2}K},
\,L=5\;\mathrm{m},\;R_{1}=0{,}10\;\mathrm{m},\;R_{2}=0{,}20\;\mathrm{m},\;R_{3}=0{,}25\;\mathrm{m},\;k=14\;\mathrm{W/mK},\;k_{1}=0{,}05\;\mathrm{W/mK}.
Vamos calcular a temperatura na interface do metal com o isolante, ou seja, em r=R_{2}, que chamaremos de T_{e}.

Passo 2

Modelamos o sistema como resistências térmicas em série:
R_{\mathrm{conv},1} = \frac{1}{h_{1}\,2\pi R_{1}L}, \quad R_{\mathrm{cond},1} = \frac{\ln\bigl(R_{2}/R_{1}\bigr)}{2\pi k L},
R_{\mathrm{cond},2} = \frac{\ln\bigl(R_{3}/R_{2}\bigr)}{2\pi k_{1}L}, \quad R_{\mathrm{conv},2} = \frac{1}{h_{2}\,2\pi R_{3}L}.
O fluxo térmico por metro de comprimento é
Q = \frac{T_{1}-T_{2}}{R_{\mathrm{conv},1}+R_{\mathrm{cond},1}+R_{\mathrm{cond},2}+R_{\mathrm{conv},2}}.
A temperatura em r=R_{2} é obtida subtraindo de T_{1} a queda de temperatura nas primeiras duas resistências:
T_{e} = T_{1} - Q\bigl(R_{\mathrm{conv},1}+R_{\mathrm{cond},1}\bigr).

Passo 3

Calculando numericamente:
R_{\mathrm{conv},1} = \frac{1}{12\cdot2\pi\cdot0{,}10\cdot5} \approx0{,}0265\;\mathrm{K/W},
R_{\mathrm{cond},1} = \frac{\ln(0{,}20/0{,}10)}{2\pi\cdot14\cdot5} =\frac{\ln2}{2\pi\cdot70} \approx0{,}00158\;\mathrm{K/W},
R_{\mathrm{cond},2} = \frac{\ln(0{,}25/0{,}20)}{2\pi\cdot0{,}05\cdot5} \approx0{,}1421\;\mathrm{K/W},
R_{\mathrm{conv},2} = \frac{1}{5\cdot2\pi\cdot0{,}25\cdot5} \approx0{,}0255\;\mathrm{K/W}.

Passo 4

Somando as resistências e achando Q:
R_{\mathrm{tot}} \approx0{,}0265+0{,}00158+0{,}1421+0{,}0255 = 0{,}1957\;\mathrm{K/W},
Q = \frac{120 - 25}{0{,}1957} \approx \frac{95}{0{,}1957} \approx485{,}6\;\mathrm{W}.

Passo 5

Finalmente, a temperatura na interface r=R_{2} é
T_{e} = 120 - 485{,}6\bigl(0{,}0265+0{,}00158\bigr) \approx120 - 485{,}6\cdot0{,}02808 \approx106{,}4^\circ\mathrm{C}.

Resposta

T_{e}\approx106{,}4^\circ\mathrm{C}.

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