Transferência de Calor em Estado Estacionário em Cilindros Infinitos sem Geração
Condições operacionais:
\mathrm{T}_{1}=120^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{h}_{1}=12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} \mathrm{~T}_{2}=25^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{h}_{2}=5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}
\mathrm{~L}=5 \mathrm{~m} \mathrm{R}_{1}=10 \mathrm{~cm} \mathrm{R}_{2}=20 \mathrm{~cm} \mathrm{R}_{3}=25 \mathrm{~cm}
\mathrm{k}=14 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} \mathrm{k}_{1}=0,05 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}
Determine:
O fluxo de calor em b;

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro cilíndrico de comprimento \,L=5\,\mathrm m com raio interno \,R_1=0{,}10\,\mathrm m e raio externo do metal \,R_2=0{,}20\,\mathrm m, recoberto por um isolamento até o raio \,R_3=0{,}25\,\mathrm m. No interior há convecção com coeficiente \,h_1=12\,\mathrm{W/m^2K} e temperatura do fluido \,T_1=120^\circ\mathrm C. Do lado externo do isolamento há convecção com \,h_2=5\,\mathrm{W/m^2K} e fluido a \,T_2=25^\circ\mathrm C. A condutividade térmica do cilindro metálico é \,k=14\,\mathrm{W/mK} e do isolamento é \,k_1=0{,}05\,\mathrm{W/mK}. Queremos o fluxo de calor \,Q em regime permanente.

Passo 2

Montamos o circuito térmico em série com quatro resistências:
– Resistência de convecção interna
R_{\mathrm{conv},1}=\frac{1}{h_1\,2\pi R_1 L}
– Resistência de condução radial no metal
R_{\mathrm{cond},\mathrm{metal}}=\frac{\ln\bigl(R_2/R_1\bigr)}{2\pi\,k\,L}
– Resistência de condução radial no isolamento
R_{\mathrm{cond},\mathrm{iso}}=\frac{\ln\bigl(R_3/R_2\bigr)}{2\pi\,k_1\,L}
– Resistência de convecção externa
R_{\mathrm{conv},2}=\frac{1}{h_2\,2\pi R_3 L}

Passo 3

Calculamos cada resistência numérica:
R_{\mathrm{conv},1} =\frac{1}{12\cdot2\pi\cdot0{,}10\cdot5} =\frac{1}{12\pi} \approx0{,}02653\\ \mathrm K/W
R_{\mathrm{cond},\mathrm{metal}} =\frac{\ln(0{,}20/0{,}10)}{2\pi\cdot14\cdot5} =\frac{\ln2}{140\pi} \approx0{,}001576\\ \mathrm K/W
R_{\mathrm{cond},\mathrm{iso}} =\frac{\ln(0{,}25/0{,}20)}{2\pi\cdot0{,}05\cdot5} =\frac{\ln1{,}25}{0{,}5\pi} \approx0{,}1421\\ \mathrm K/W
R_{\mathrm{conv},2} =\frac{1}{5\cdot2\pi\cdot0{,}25\cdot5} =\frac{1}{12{,}5\pi} \approx0{,}02546\\ \mathrm K/W

Passo 4

Somamos as resistências e aplicamos
\Delta T = T_1 - T_2 = 120 - 25 = 95\\ \mathrm K
R_{\mathrm{tot}} =R_{\mathrm{conv},1} +R_{\mathrm{cond},\mathrm{metal}} +R_{\mathrm{cond},\mathrm{iso}} +R_{\mathrm{conv},2} \approx0{,}02653+0{,}001576+0{,}1421+0{,}02546 =0{,}1956\\ \mathrm K/W
Q = \frac{\Delta T}{R_{\mathrm{tot}}} =\frac{95}{0{,}1956} \approx485{,}8\\ \mathrm W

Passo 5

Se quisermos o fluxo por metro de comprimento, basta dividir por L=5\,\mathrm m:
\frac{Q}{L}\approx\frac{485{,}8}{5}=97{,}2\\ \mathrm W/m

Resposta

O fluxo de calor total é aproximadamente Q\approx486\\ \mathrm W (ou cerca de 97{,}2\\ \mathrm W/m).

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