Transferência de Calor em Estado Estacionário em Cilindros Infinitos sem Geração
Condições operacionais:
\mathrm{T}_{1}=120^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{h}_{1}=12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} \mathrm{~T}_{2}=25^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{h}_{2}=5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}
\mathrm{~L}=5 \mathrm{~m} \mathrm{R}_{1}=10 \mathrm{~cm} \mathrm{R}_{2}=20 \mathrm{~cm} \mathrm{R}_{3}=25 \mathrm{~cm}
\mathrm{k}=14 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} \mathrm{k}_{1}=0,05 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}
Determine:
O fluxo de calor em c;

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um cilindro longo de comprimento L=5\:\mathrm m com raio interno R_1=0{,}10\:\mathrm m exposto a um fluido a \mathrm T_1=120^\circ\mathrm C com coeficiente de convecção h_1=12\:\mathrm{W/(m^2K)}. Esse cilindro é feito de material com condutividade térmica k=14\:\mathrm{W/(mK)} até o raio R_2=0{,}20\:\mathrm m, segue uma camada de material isolante com k_1=0{,}05\:\mathrm{W/(mK)} até o raio R_3=0{,}25\:\mathrm m, que por sua vez troca calor por convecção com outro fluido a \mathrm T_2=25^\circ\mathrm C e h_2=5\:\mathrm{W/(m^2K)}. Em regime estacionário sem geração interna, o fluxo de calor é o mesmo em todas as camadas. Vamos modelar como resistências térmicas em série e calcular Q.

Passo 2

Escrevemos as resistências térmicas de cada trecho (unidade: K/W):
R_{\mathrm{conv},1}=\frac{1}{h_1\,2\pi R_1 L}
R_{\mathrm{cond},1}=\frac{\ln\!\bigl(R_2/R_1\bigr)}{2\pi k\,L}
R_{\mathrm{cond},2}=\frac{\ln\!\bigl(R_3/R_2\bigr)}{2\pi k_1\,L}
R_{\mathrm{conv},2}=\frac{1}{h_2\,2\pi R_3 L}
A resistência total é
R_{\mathrm{tot}}=R_{\mathrm{conv},1}+R_{\mathrm{cond},1}+R_{\mathrm{cond},2}+R_{\mathrm{conv},2}.
O fluxo térmico (potência) vale
Q=\frac{T_1-T_2}{R_{\mathrm{tot}}}.

Passo 3

Calculando numericamente (todos os logs no neper):
R_{\mathrm{conv},1}=\frac{1}{12\cdot2\pi\cdot0{,}10\cdot5}\approx0{,}02653
R_{\mathrm{cond},1}=\frac{\ln(0{,}20/0{,}10)}{2\pi\cdot14\cdot5} =\frac{0{,}6931}{439{,}82}\approx0{,}00158
R_{\mathrm{cond},2}=\frac{\ln(0{,}25/0{,}20)}{2\pi\cdot0{,}05\cdot5} =\frac{0{,}2231}{1{,}5708}\approx0{,}1421
R_{\mathrm{conv},2}=\frac{1}{5\cdot2\pi\cdot0{,}25\cdot5} =\frac{1}{39{,}27}\approx0{,}02546

Passo 4

Somando as resistências:
R_{\mathrm{tot}}\approx0{,}02653+0{,}00158+0{,}1421+0{,}02546=0{,}1957\:\mathrm{K/W}.
E como \Delta T=120-25=95\:\mathrm K, temos
Q=\frac{95}{0{,}1957}\approx485{,}6\:\mathrm W.

Resposta

O fluxo de calor em c é
Q\approx4,86\times10^2\:\mathrm W.

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