Transferência de Calor em Estado Estacionário em Esferas sem Geração
Condições operacionais:
\mathrm{T}_{1}=120^{\circ} \mathrm{C} & \mathrm{h}_{1}=12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} & \mathrm{T}_{2}=25^{\circ} \mathrm{C} & \mathrm{h}_{2}=5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} \
\mathrm{R}_{1}=10 \mathrm{~cm} & \mathrm{R}_{2}=20 \mathrm{~cm} & \mathrm{R}_{3}=25 \mathrm{~cm} & \
\mathrm{k}=14 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} & \mathrm{k}_{1}=0,05 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}
Determine: A taxa de calor em a;

Passo 1

O enunciado descreve um problema de condução de calor em regime permanente através de duas camadas esféricas sem geração de calor, com convecção interna e externa. Temos:
• Temperatura do fluido interno \mathrm{T}_{1}=120\,^\circ\mathrm{C} e coeficiente de convecção interna \displaystyle h_{1}=12\;\mathrm{W/m^{2}K} na superfície de raio \displaystyle R_{1}=0{,}10\;\mathrm{m}.
• Primeiro material esférico (entre R_{1} e R_{2}=0{,}20\;\mathrm{m}) com condutividade térmica \displaystyle k_{1}=0{,}05\;\mathrm{W/mK}.
• Segundo material esférico (entre R_{2}=0{,}20\;\mathrm{m} e R_{3}=0{,}25\;\mathrm{m}) com condutividade térmica \displaystyle k=14\;\mathrm{W/mK}.
• Temperatura do fluido externo \mathrm{T}_{2}=25\,^\circ\mathrm{C} e coeficiente de convecção externa \displaystyle h_{2}=5\;\mathrm{W/m^{2}K} na superfície de raio \displaystyle R_{3}=0{,}25\;\mathrm{m}.
Queremos a taxa de calor \dot Q que atravessa todas as resistências térmicas em série. Para isso, vamos calcular cada resistência e usar
\dot Q = \frac{\mathrm{T}_{1}-\mathrm{T}_{2}}{\sum R_{\text{térmicas}}}.é

Passo 2

Calcule a resistência de convecção interna na esfera de raio R_{1}. A fórmula é
R_{\text{conv},1} = \frac{1}{4\pi R_{1}^{2}\,h_{1}}.
Substituindo R_{1}=0{,}10\;\mathrm{m} e h_{1}=12\;\mathrm{W/m^{2}K}:
R_{\text{conv},1} = \frac{1}{4\pi (0{,}10)^{2}\times 12} = \frac{1}{4\pi\times0{,}01\times12} \approx 0{,}6636\;\mathrm{K/W}.

Passo 3

Calcule a resistência de condução na primeira camada esférica ( R_{1} a R_{2}) com k_{1}=0{,}05\;\mathrm{W/mK}. A fórmula é
R_{\text{cond},1} = \frac{1}{4\pi k_{1}}\Bigl(\frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}}\Bigr).
Substituindo valores:
R_{\text{cond},1} = \frac{1}{4\pi \times 0{,}05}\Bigl(\frac{1}{0{,}10}-\frac{1}{0{,}20}\Bigr) = \frac{1}{0{,}2\pi}\times(10 - 5) = \frac{5}{0{,}2\pi} = \frac{25}{\pi} \approx 7{,}958\;\mathrm{K/W}.

Passo 4

Calcule a resistência de condução na segunda camada esférica ( R_{2} a R_{3}) com k=14\;\mathrm{W/mK}.
R_{\text{cond},2} = \frac{1}{4\pi k}\Bigl(\frac{1}{R_{2}} - \frac{1}{R_{3}}\Bigr).
Substituindo R_{2}=0{,}20\;\mathrm{m}, R_{3}=0{,}25\;\mathrm{m}, k=14:
R_{\text{cond},2} = \frac{1}{4\pi \times 14}\Bigl(\frac{1}{0{,}20}-\frac{1}{0{,}25}\Bigr) = \frac{1}{56\pi}\times(5 - 4) = \frac{1}{56\pi} \approx 0{,}00568\;\mathrm{K/W}.

Passo 5

Calcule a resistência de convecção externa na esfera de raio R_{3}.
R_{\text{conv},2} = \frac{1}{4\pi R_{3}^{2}\,h_{2}}.
Substituindo R_{3}=0{,}25\;\mathrm{m} e h_{2}=5\;\mathrm{W/m^{2}K}:
R_{\text{conv},2} = \frac{1}{4\pi (0{,}25)^{2}\times 5} = \frac{1}{4\pi\times0{,}0625\times5} = \frac{1}{1{,}25\pi} \approx 0{,}2547\;\mathrm{K/W}.

Passo 6

Some todas as resistências e calcule \dot Q:
\sum R = R_{\text{conv},1} + R_{\text{cond},1} + R_{\text{cond},2} + R_{\text{conv},2} \approx 0{,}6636 + 7{,}958 + 0{,}00568 + 0{,}2547 \approx 8{,}882\;\mathrm{K/W}.
\dot Q = \frac{\mathrm{T}_{1}-\mathrm{T}_{2}}{\sum R} = \frac{120 - 25}{8{,}882} \approx 10{,}7\;\mathrm{W}.

Resposta

A taxa de calor em a é \displaystyle \dot Q \approx 10{,}7\;\mathrm{W}.

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