Transferência de Calor em Estado Estacionário em Esferas sem Geração
Condições operacionais:
\mathrm{T}_{1}=120^{\circ} \mathrm{C} & \mathrm{h}_{1}=12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} & \mathrm{T}_{2}=25^{\circ} \mathrm{C} & \mathrm{h}_{2}=5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} \
\mathrm{R}_{1}=10 \mathrm{~cm} & \mathrm{R}_{2}=20 \mathrm{~cm} & \mathrm{R}_{3}=25 \mathrm{~cm} & \
\mathrm{k}=14 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} & \mathrm{k}_{1}=0,05 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}
Determine: A taxa de calor em c;

Passo 1

O problema descreve uma esfera interna submetida a convecção para um fluido à temperatura \,T_{1}=120\\ ^\circ\mathrm{C} com coeficiente convectivo \,h_{1}=12\\ \mathrm{W/m^{2}K}, envolvida por duas camadas concêntricas até o raio externo, onde há convecção para o ambiente a \,T_{2}=25\\ ^\circ\mathrm{C} com \,h_{2}=5\\ \mathrm{W/m^{2}K}.
A camada interna (entre R_{1} e R_{2}) tem condutividade térmica k_{1}=0{,}05\\ \mathrm{W/mK} e a externa (entre R_{2} e R_{3}) tem k=14\\ \mathrm{W/mK}.
Convertendo raios para metros:
R_{1}=0{,}10\\ \mathrm{m},\quad R_{2}=0{,}20\\ \mathrm{m},\quad R_{3}=0{,}25\\ \mathrm{m}.
Vamos usar o conceito de resistências térmicas em série: resistências convectivas na superfície interna e externa e resistências de condução em cascas esféricas.

Passo 2

Escrevemos as expressões das quatro resistências:
R_{\mathrm{conv},1} \;=\;\frac{1}{h_{1}\,4\pi R_{1}^{2}},
R_{\mathrm{cond},1} \;=\;\frac{1}{4\pi\,k_{1}}\Bigl(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\Bigr),
R_{\mathrm{cond},2} \;=\;\frac{1}{4\pi\,k}\Bigl(\frac{1}{R_{2}}-\frac{1}{R_{3}}\Bigr),
R_{\mathrm{conv},2} \;=\;\frac{1}{h_{2}\,4\pi R_{3}^{2}}.

Passo 3

Calcular R_{\mathrm{conv},1} e R_{\mathrm{conv},2}:
R_{\mathrm{conv},1} =\frac{1}{12\cdot4\pi\,(0{,}10)^{2}} \approx0{,}6634\\ \mathrm{K/W},
R_{\mathrm{conv},2} =\frac{1}{5\cdot4\pi\,(0{,}25)^{2}} \approx0{,}2547\\ \mathrm{K/W}.

Passo 4

Calcular R_{\mathrm{cond},1} e R_{\mathrm{cond},2}:
R_{\mathrm{cond},1} =\frac{1}{4\pi\,(0{,}05)}\Bigl(\frac{1}{0{,}10}-\frac{1}{0{,}20}\Bigr) =\frac{5}{0{,}2\pi} \approx7{,}9578\\ \mathrm{K/W},
R_{\mathrm{cond},2} =\frac{1}{4\pi\,(14)}\Bigl(\frac{1}{0{,}20}-\frac{1}{0{,}25}\Bigr) =\frac{1}{56\pi} \approx0{,}0057\\ \mathrm{K/W}.

Passo 5

Somamos todas as resistências e aplicamos
R_{\mathrm{tot}} =R_{\mathrm{conv},1}+R_{\mathrm{cond},1}+R_{\mathrm{cond},2}+R_{\mathrm{conv},2} \approx0{,}6634+7{,}9578+0{,}0057+0{,}2547 \approx8{,}8816\\ \mathrm{K/W},
Q =\frac{T_{1}-T_{2}}{R_{\mathrm{tot}}} =\frac{120-25}{8{,}8816} \approx10{,}7\\ \mathrm{W}.

Resposta

A taxa de calor é aproximadamente 10{,}7\\ \mathrm{W}.

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