Transferência de Calor em Estado Estacionário em Esferas sem Geração
Condições operacionais:
\mathrm{T}_{1}=120^{\circ} \mathrm{C} & \mathrm{h}_{1}=12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} & \mathrm{T}_{2}=25^{\circ} \mathrm{C} & \mathrm{h}_{2}=5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} \
\mathrm{R}_{1}=10 \mathrm{~cm} & \mathrm{R}_{2}=20 \mathrm{~cm} & \mathrm{R}_{3}=25 \mathrm{~cm} & \
\mathrm{k}=14 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} & \mathrm{k}_{1}=0,05 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}
Determine: O fluxo de calor em e;

Passo 1

O enunciado descreve um sistema em regime permanente sem geração, composto por
– Convecção interna na superfície de raio R_{1}=0{,}10 m com coeficiente h_{1}=12 W/m²K e fluido a T_{1}=120 °C;
– Condução através de uma casca esférica de condutividade k=14 W/mK entre R_{1} e R_{2}=0{,}20 m;
– Condução através de uma segunda casca esférica de condutividade k_{1}=0{,}05 W/mK entre R_{2} e R_{3}=0{,}25 m;
– Convecção externa na superfície de raio R_{3} com coeficiente h_{2}=5 W/m²K e fluido a T_{2}=25 °C.
Queremos o fluxo de calor superficial (densidade de fluxo) nos pontos “a” (superfície interna, r=R_{1}) e “b” (superfície externa, r=R_{3}). Usaremos o modelo de resistências térmicas em série para esferas.

Passo 2

Compute a resistência de convecção interna e a primeira resistência de condução:
R_{\text{conv,1}} =\frac{1}{h_{1}\,4\pi R_{1}^{2}} =\frac{1}{12\cdot4\pi\,(0{,}10)^{2}} \approx0{,}664\;\text{K/W},
R_{\text{cond,1}} =\frac{1}{4\pi k}\Bigl(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\Bigr) =\frac{1}{4\pi\cdot14}\bigl(10-5\bigr) =\frac{5}{56\pi}\approx0{,}0284\;\text{K/W}.

Passo 3

Compute a resistência de condução do isolante e a convecção externa:
R_{\text{cond,2}} =\frac{1}{4\pi k_{1}}\Bigl(\frac{1}{R_{2}}-\frac{1}{R_{3}}\Bigr) =\frac{1}{4\pi\cdot0{,}05}\bigl(5-4\bigr) =\frac{1}{0{,}2\pi}\approx1{,}592\;\text{K/W},
R_{\text{conv,2}} =\frac{1}{h_{2}\,4\pi R_{3}^{2}} =\frac{1}{5\cdot4\pi\,(0{,}25)^{2}} \approx0{,}255\;\text{K/W}.

Passo 4

Somando todas as resistências em série:
R_{\text{tot}} =R_{\text{conv,1}}+R_{\text{cond,1}}+R_{\text{cond,2}}+R_{\text{conv,2}} \approx0{,}664+0{,}0284+1{,}592+0{,}255 =2{,}538\;\text{K/W}.
A queda de temperatura total é \Delta T=T_{1}-T_{2}=120-25=95 K. Logo a taxa de calor é
Q=\frac{\Delta T}{R_{\text{tot}}} =\frac{95}{2{,}538} \approx37{,}44\;\text{W}.

Passo 5

A densidade de fluxo na superfície “a” ( r=R_{1}) e na superfície “b” ( r=R_{3}) vem de
q''_{a}=\frac{Q}{4\pi R_{1}^{2}} =\frac{37{,}44}{4\pi\,(0{,}10)^{2}} \approx298\;\text{W/m}^{2},
q''_{b}=\frac{Q}{4\pi R_{3}^{2}} =\frac{37{,}44}{4\pi\,(0{,}25)^{2}} \approx47{,}7\;\text{W/m}^{2}.

Resposta

q’’_a ≈ 298 W/m²
q’’_b ≈ 47,7 W/m²

Exercícios relacionados