Para se determinar o efeito que tem a dependência da condutividade térmica em relação à temperatura sobre a distribuição de temperatura em um sólido, considere um material para o qual essa dependência possa ser representada pela expressão:
, em que
é uma constante positiva e a é um coeficiente que pode ser positivo ou negativo. Esboce a distribuição de temperatura em regime estacionário, associada com a transferência de calor através de uma parede plana para os três casos:
e
Passo 1
O enunciado trata da condução de calor unidimensional em regime estacionário através de uma parede plana de espessura
. A condutividade térmica varia com a temperatura segundo
com
e
podendo ser positivo, nulo ou negativo. Precisamos esboçar o perfil de temperatura
entre as faces
(temperatura
) e
(temperatura
) para os três casos
,
e
.
Passo 2
A equação diferencial de energia em regime estacionário e sem geração interna é
Integrando uma vez, obtemos que o fluxo de calor por unidade de área
é constante:
Aqui o sinal negativo indica decaimento de
no sentido de
.
Passo 3
Da relação
podemos obter a curvatura do perfil calculando a segunda derivada:
Note que
e
pois
e
não muda de sinal. Assim
Passo 4
Da expressão de
concluímos:
- Se
, então e é uma reta entre e . - Se
, então : o perfil é côncavo para baixo (arredondado no sentido de um teto). Isso significa que o gradiente aumenta conforme avançamos na parede (mais inclinado perto da face fria). - Se
, então : o perfil é côncavo para cima (arredondado no sentido de um piso). Isso significa que o gradiente diminui conforme avançamos na parede (mais inclinado perto da face quente).
Resposta
Para
e fixando
,
:
(a)
:
é uma curva côncava para baixo, ligando
a
.
(b) :
é uma reta decrescente, ligando
a
.
(c) :
é uma curva côncava para cima, ligando
a
.
(b)
(c)