Para se determinar o efeito que tem a dependência da condutividade térmica em relação à temperatura sobre a distribuição de temperatura em um sólido, considere um material para o qual essa dependência possa ser representada pela expressão: k=k_{0}+a T, em que k_{0} é uma constante positiva e a é um coeficiente que pode ser positivo ou negativo. Esboce a distribuição de temperatura em regime estacionário, associada com a transferência de calor através de uma parede plana para os três casos: a>0, a=0 e a<0

Passo 1

O enunciado trata da condução de calor unidimensional em regime estacionário através de uma parede plana de espessura L. A condutividade térmica varia com a temperatura segundo
k(T)=k_{0}+a\,T,
com k_{0}>0 e a podendo ser positivo, nulo ou negativo. Precisamos esboçar o perfil de temperatura T(x) entre as faces x=0 (temperatura T_{1}) e x=L (temperatura T_{2}) para os três casos a>0, a=0 e a<0.

Passo 2

A equação diferencial de energia em regime estacionário e sem geração interna é
\frac{d}{dx}\bigl(k(T)\,\frac{dT}{dx}\bigr)=0.
Integrando uma vez, obtemos que o fluxo de calor por unidade de área q'' é constante:
k(T)\,\frac{dT}{dx} = -\,q''.
Aqui o sinal negativo indica decaimento de T no sentido de x.

Passo 3

Da relação
\frac{dT}{dx} = -\,\frac{q''}{k_{0}+a\,T},
podemos obter a curvatura do perfil calculando a segunda derivada:
\frac{d^2T}{dx^2} = \frac{d}{dx}\Bigl(-\,\frac{q''}{k_{0}+a\,T}\Bigr) = -\,q''\;\frac{d}{dT}\Bigl(\frac{1}{k_{0}+a\,T}\Bigr)\;\frac{dT}{dx} = -\,a\,\frac{q''^2}{\bigl(k_{0}+a\,T\bigr)^3}.
Note que \,q''^2>0 e (k_{0}+aT)^3>0 pois k_{0}>0 e k(T) não muda de sinal. Assim
\frac{d^2T}{dx^2} \quad\text{tem sinal oposto ao de}\quad a.

Passo 4

Da expressão de \tfrac{d^2T}{dx^2} concluímos:
  • Se a=0, então \tfrac{d^2T}{dx^2}=0 e T(x) é uma reta entre (0,T_{1}) e (L,T_{2}).
  • Se a>0, então \tfrac{d^2T}{dx^2}<0: o perfil é côncavo para baixo (arredondado no sentido de um teto). Isso significa que o gradiente |dT/dx| aumenta conforme avançamos na parede (mais inclinado perto da face fria).
  • Se a<0, então \tfrac{d^2T}{dx^2}>0: o perfil é côncavo para cima (arredondado no sentido de um piso). Isso significa que o gradiente |dT/dx| diminui conforme avançamos na parede (mais inclinado perto da face quente).

Resposta

Para x\in[0,L] e fixando T(0)=T_{1}, T(L)=T_{2}:
(a) a>0: T(x) é uma curva côncava para baixo, ligando (0,T_{1}) a (L,T_{2}).
(b) a=0: T(x) é uma reta decrescente, ligando (0,T_{1}) a (L,T_{2}).
(c) a<0: T(x) é uma curva côncava para cima, ligando (0,T_{1}) a (L,T_{2}).

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