3- Transformação de uma função seno em uma funcão cosseno.
Podemos transformar uma função seno em uma função cosseno subtraindo 90^{\circ} ( \pi / 2 \mathrm{rad} ) do argumento da função seno.
a) Confirme essa transformação mostrando que
\operatorname{sen}(\omega t+\theta)=\cos \left(\omega t+\theta-90^{\circ}\right)
b) Use o resultado de (a) para expressar sen ( \omega t+30^{\circ} ) como uma função cosseno.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • (a) Confirmar a transformação afirmando que
\sin(\omega t+\theta)=\cos\!\left(\omega t+\theta-90^{\circ}\right),
ou, em radianos,
\sin(\omega t+\theta)=\cos\!\left(\omega t+\theta-\frac{\pi}{2}\right).
  • (b) Usar o resultado de (a) para escrever \sin(\omega t+30^{\circ}) como uma função cosseno.
Informações e símbolos que já aparecem no enunciado:
  • \omega é a frequência angular (um parâmetro real).
  • t é a variável tempo.
  • \theta é um ângulo/defasagem (em graus ou radianos).
  • O enunciado afirma que uma senoide vira cosseno ao subtrair 90^{\circ} (ou \pi/2 rad) do argumento.

Passo 2

Recordar a identidade de adição/subtração do cosseno (ferramenta que usaremos). A fórmula de diferença para o cosseno é:
\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b.
Explicando cada símbolo nessa fórmula:
  • a e b são ângulos quaisquer.
  • \cos(a-b) é o cosseno da diferença entre a e b.
    Essa identidade vem da fórmula de adição do cosseno e é uma ferramenta padrão para manipular somas e diferenças de ângulos.

Passo 3

Aplicar a identidade com a=\omega t+\theta e b=\dfrac{\pi}{2} (equivalente a 90^{\circ}). Substituindo na fórmula:
\cos\!\left(\omega t+\theta-\frac{\pi}{2}\right)=\cos\!\left(\omega t+\theta\right)\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)+\sin\!\left(\omega t+\theta\right)\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right).

Passo 4

Avaliar os valores conhecidos \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) e \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right). Sabemos que:
\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,\qquad \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.
Substituindo esses valores na expressão do Passo 3 obtemos:
\cos\!\left(\omega t+\theta-\frac{\pi}{2}\right)=\cos\!\left(\omega t+\theta\right)\cdot 0+\sin\!\left(\omega t+\theta\right)\cdot 1,
ou seja
\cos\!\left(\omega t+\theta-\frac{\pi}{2}\right)=\sin\!\left(\omega t+\theta\right).
Isso confirma a identidade pedida em (a). Em graus, a mesma conta vale se usarmos b=90^{\circ}:
\cos\!\left(\omega t+\theta-90^{\circ}\right)=\sin\!\left(\omega t+\theta\right).

Passo 5

Agora aplicar o resultado de (a) para o caso específico de (b). Começamos por escrever a identidade com \theta=30^{\circ}:
\sin(\omega t+30^{\circ})=\cos\!\left(\omega t+30^{\circ}-90^{\circ}\right).
Calcular a diferença dos ângulos:
30^{\circ}-90^{\circ}=-60^{\circ}.
Portanto
\sin(\omega t+30^{\circ})=\cos(\omega t-60^{\circ}).

Passo 6

Dar a versão em radianos (muito útil em provas e em cálculo): como 30^{\circ}=\dfrac{\pi}{6} e 60^{\circ}=\dfrac{\pi}{3}, temos
\sin\!\left(\omega t+\frac{\pi}{6}\right)=\cos\!\left(\omega t-\frac{\pi}{3}\right).
Observação prática rápida: é sempre bom lembrar que \cos é par, ou seja \cos(-\alpha)=\cos(\alpha); assim, numericamente, \cos(\omega t-60^{\circ}) e \cos(\omega t+300^{\circ}) representam a mesma função periódica, mas a forma \cos(\omega t-60^{\circ}) é a mais direta aqui.

Passo 7

Pequena checagem numérica para ganhar confiança (exemplo fácil): tome t=0. Então
\sin(\omega\cdot 0+30^{\circ})=\sin(30^{\circ})=\tfrac{1}{2},
e
\cos(\omega\cdot 0-60^{\circ})=\cos(-60^{\circ})=\cos(60^{\circ})=\tfrac{1}{2},
portanto ambos coincidem, como deve ser.

Resposta

(a) \sin(\omega t+\theta)=\cos\!\left(\omega t+\theta-90^{\circ}\right)=\cos\!\left(\omega t+\theta-\dfrac{\pi}{2}\right)
(b) \sin(\omega t+30^{\circ})=\cos(\omega t-60^{\circ})=\cos\!\left(\omega t-\dfrac{\pi}{3}\right)

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