3- Transformação de uma função seno em uma funcão cosseno.
Podemos transformar uma função seno em uma função cosseno subtraindo
(
) do argumento da função seno.
a) Confirme essa transformação mostrando que
b) Use o resultado de (a) para expressar sen (
) como uma função cosseno.
Podemos transformar uma função seno em uma função cosseno subtraindo
a) Confirme essa transformação mostrando que
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- (a) Confirmar a transformação afirmando que
ou, em radianos,
- (b) Usar o resultado de (a) para escrever
como uma função cosseno.
Informações e símbolos que já aparecem no enunciado:
-
é a frequência angular (um parâmetro real). -
é a variável tempo. -
é um ângulo/defasagem (em graus ou radianos). - O enunciado afirma que uma senoide vira cosseno ao subtrair
(ou rad) do argumento.
Passo 2
Recordar a identidade de adição/subtração do cosseno (ferramenta que usaremos). A fórmula de diferença para o cosseno é:
Explicando cada símbolo nessa fórmula:
-
e são ângulos quaisquer. -
é o cosseno da diferença entre e .
Essa identidade vem da fórmula de adição do cosseno e é uma ferramenta padrão para manipular somas e diferenças de ângulos.
Passo 3
Aplicar a identidade com
e
(equivalente a
). Substituindo na fórmula:
Passo 4
Avaliar os valores conhecidos
e
. Sabemos que:
Substituindo esses valores na expressão do Passo 3 obtemos:
ou seja
Isso confirma a identidade pedida em (a). Em graus, a mesma conta vale se usarmos
:
Passo 5
Agora aplicar o resultado de (a) para o caso específico de (b). Começamos por escrever a identidade com
:
Calcular a diferença dos ângulos:
Portanto
Passo 6
Dar a versão em radianos (muito útil em provas e em cálculo): como
e
, temos
Observação prática rápida: é sempre bom lembrar que
é par, ou seja
; assim, numericamente,
e
representam a mesma função periódica, mas a forma
é a mais direta aqui.
Passo 7
Pequena checagem numérica para ganhar confiança (exemplo fácil): tome
. Então
e
portanto ambos coincidem, como deve ser.
Resposta
(a)
(b)