Determinação das características de uma tensão senoidal
Uma tensão senoidal é dada pela expressão v=300 \cos \left(120 \pi t+30^{\circ}\right).
Qual é o valor eficaz de v ?

Passo 1

O enunciado dá a tensão senoidal
v(t)=300\cos\!\left(120\pi t+30^\circ\right).
Informações que o enunciado fornece:
  • Amplitude (valor de pico) da tensão: \;V_m=300\;\text{V} (peguei isso diretamente da expressão).
  • Frequência angular e fase aparecem na expressão, mas o enunciado pede apenas o valor eficaz.
O que é pedido:
  • Determinar o valor eficaz (valor RMS) de v.

Passo 2

Definição do valor eficaz (RMS) para uma função periódica: o valor eficaz V_{\mathrm{rms}} de uma tensão v(t) com período T é dado por
V_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} v^2(t)\,dt}.
Explicando cada parte:
  • T é o período da senoide (tempo para a forma se repetir).
  • v^2(t) é o quadrado instantâneo da tensão.
  • A integral \dfrac{1}{T}\int_0^T v^2(t)\,dt calcula a média quadrática da tensão ao longo de um período.
  • A raiz quadrada final transforma a média quadrática em valor eficaz.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso de uma senoide pura. Para
v(t)=V_m\cos(\omega t+\varphi),
temos
v^2(t)=V_m^2\cos^2(\omega t+\varphi).
Usamos a identidade trigonométrica
\cos^2\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2},
que diz que a média de \cos^2 ao longo de um período é \tfrac{1}{2}, porque o termo \cos(2\theta) tem média zero sobre um período inteiro.

Passo 4

Calcular a média quadrática explicitamente:
\frac{1}{T}\int_{0}^{T} v^2(t)\,dt = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} V_m^2\cos^2(\omega t+\varphi)\,dt = V_m^2\cdot\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\frac{1+\cos(2\omega t+2\varphi)}{2}\,dt.
O termo com \cos(2\omega t+2\varphi) tem média zero em um período, logo a integral dá \tfrac{V_m^2}{2}. Portanto
V_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{V_m^2}{2}}=\frac{V_m}{\sqrt{2}}.
Observação importante (útil na prova): a fase \varphi e a frequência \omega não alteram o valor eficaz de uma senoide pura — só a amplitude importa.

Passo 5

Agora aplico ao caso dado. Temos \;V_m=300\;\text{V}. Logo
V_{\mathrm{rms}}=\frac{300}{\sqrt{2}}=150\sqrt{2}\\ \text{V}.
Calculando a aproximação numérica usando \sqrt{2}\approx1,41421356:
150\sqrt{2}\approx150\cdot1,41421356\approx212,13\\ \text{V}.

Resposta

150\sqrt{2}\\ \text{V}
\approx212,13\\ \text{V}

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