A transformada de Laplace de uma constante Aé:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pergunta qual é a transformada de Laplace de uma função constante
. Foram dadas quatro alternativas:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
O objetivo é calcular
e escolher a alternativa correta.
Passo 2
Vamos lembrar a definição da transformada de Laplace: para uma função
definida em
,
Aqui
é a variável de tempo (real e não negativa),
é a variável complexa da transformada (geralmente usamos
com
para garantir convergência) e
é a função que queremos transformar.
Passo 3
Aplicando a definição à função constante
(onde
é uma constante real):
Como
é constante em relação a
, podemos tirar
fora da integral:
Passo 4
Agora calculamos a integral imprópria. Primeiro fazemos a integral até um limite finito
e depois tomamos o limite quando
:
A primitiva de
em relação a
é
. Então
Tomando o limite
obtemos
Para que
quando
é necessário que a parte real de
seja positiva, ou seja,
. Sob essa condição o termo com
tende a zero, ficando
Passo 5
Voltando à transformada com o fator
:
Isso significa que a transformada de Laplace de uma constante
é
, desde que
tenha parte real positiva para garantir convergência.
Passo 6
Um teste rápido para fixar: se
, então
. Isso bate com a alternativa (b).
Resposta
b)