A transformada de Laplace de uma constante Aé:
a) A
b) \frac{A}{s}
c) A s
d) \frac{1}{A s}

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a transformada de Laplace de uma função constante A. Foram dadas quatro alternativas:
a) A
b) \dfrac{A}{s}
c) A s
d) \dfrac{1}{A s}
O objetivo é calcular \mathcal{L}\{A\}(s) e escolher a alternativa correta.

Passo 2

Vamos lembrar a definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) definida em t\ge0,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt.
Aqui t é a variável de tempo (real e não negativa), s é a variável complexa da transformada (geralmente usamos s com \Re(s)>0 para garantir convergência) e f(t) é a função que queremos transformar.

Passo 3

Aplicando a definição à função constante f(t)=A (onde A é uma constante real):
\mathcal{L}\{A\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,A\,dt.
Como A é constante em relação a t, podemos tirar A fora da integral:
\mathcal{L}\{A\}(s)=A\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt.

Passo 4

Agora calculamos a integral imprópria. Primeiro fazemos a integral até um limite finito T e depois tomamos o limite quando T\to\infty:
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt=\lim_{T\to\infty}\int_{0}^{T} e^{-s t}\,dt.
A primitiva de e^{-s t} em relação a t é -\dfrac{1}{s}e^{-s t}. Então
\int_{0}^{T} e^{-s t}\,dt=\left[-\dfrac{1}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{T}=-\dfrac{1}{s}e^{-s T}+\dfrac{1}{s}.
Tomando o limite T\to\infty obtemos
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt=\lim_{T\to\infty}\left(-\dfrac{1}{s}e^{-s T}+\dfrac{1}{s}\right).
Para que e^{-s T}\to 0 quando T\to\infty é necessário que a parte real de s seja positiva, ou seja, \Re(s)>0. Sob essa condição o termo com e^{-sT} tende a zero, ficando
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt=\dfrac{1}{s}\qquad(\text{para }\Re(s)>0).

Passo 5

Voltando à transformada com o fator A:
\mathcal{L}\{A\}(s)=A\cdot\frac{1}{s}=\frac{A}{s}\qquad(\Re(s)>0).
Isso significa que a transformada de Laplace de uma constante A é \dfrac{A}{s}, desde que s tenha parte real positiva para garantir convergência.

Passo 6

Um teste rápido para fixar: se A=2, então \mathcal{L}\{2\}(s)=\dfrac{2}{s}. Isso bate com a alternativa (b).

Resposta

b) \dfrac{A}{s}

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