Determinar a derivada das funções dadas a seguir.
04) f(z)=\frac{1+\sqrt{z}}{1-\sqrt{z}}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada da função
f(z)=\frac{1+\sqrt{z}}{1-\sqrt{z}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é dada por f(z)=\dfrac{1+\sqrt{z}}{1-\sqrt{z}}.
  • A raiz quadrada \sqrt{z} impõe, no caso real, a condição z\ge 0.
  • O denominador não pode ser zero, isto é \,1-\sqrt{z}\neq 0, portanto z\neq 1.

Passo 2

Escolha do método: uma forma limpa é fazer a substituição
u=\sqrt{z},
então escrever f como composição f(z)=g(u(z)) com
g(u)=\frac{1+u}{1-u}.
Explicando a ideia (regra da cadeia): se f(z)=g(u(z)), então a derivada é
f'(z)=g'(u(z))\cdot u'(z).
Vou calcular g'(u) e u'(z) separadamente e depois multiplicar — isso evita lidar direto com uma expressão complicada.

Passo 3

Cálculo de g'(u) usando a regra do quociente. A regra do quociente diz: se g(u)=\dfrac{N(u)}{D(u)} com N e D diferenciáveis, então
g'(u)=\frac{N'(u)D(u)-N(u)D'(u)}{D(u)^2}.
Aqui N(u)=1+u e D(u)=1-u. Então N'(u)=1 e D'(u)=-1. Aplicando:
g'(u)=\frac{1\cdot(1-u)-(1+u)\cdot(-1)}{(1-u)^2} =\frac{1-u+1+u}{(1-u)^2} =\frac{2}{(1-u)^2}.

Passo 4

Cálculo de u'(z) com u(z)=\sqrt{z}=z^{1/2}. Usando a regra da potência (derivada de z^n é n z^{n-1}):
u'(z)=\frac{1}{2}z^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{z}}.
Observação sobre domínio: essa fórmula é válida para z>0. Em z=0 a expressão tem divisão por zero (derivada não finita), e z=1 está fora do domínio da função original.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:
f'(z)=g'(u(z))\cdot u'(z).
Substituindo g'(u)=\dfrac{2}{(1-u)^2} e u'(z)=\dfrac{1}{2\sqrt{z}} e lembrando que u=\sqrt{z}, obtemos
f'(z)=\frac{2}{\bigl(1-\sqrt{z}\bigr)^2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{z}} =\frac{1}{\sqrt{z}\,\bigl(1-\sqrt{z}\bigr)^2}.
Essa expressão já está simplificada — o fator 2 cancelou.

Passo 6

Comentários finais sobre domínio e pontos especiais:
  • A derivada acima é válida para z>0 com z\neq 1.
  • Em z=1 a função não está definida (denominador nulo).
  • Em z=0 a derivada não é finita (aparece \sqrt{z} no denominador), portanto não existe derivada finita em z=0.

Resposta

f'(z)=\frac{1}{\sqrt{z}\,\bigl(1-\sqrt{z}\bigr)^2}

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