Determinar a derivada das funções dadas a seguir.
04)
.
04)
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada da função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é dada por
. - A raiz quadrada
impõe, no caso real, a condição . - O denominador não pode ser zero, isto é
, portanto .
Passo 2
Escolha do método: uma forma limpa é fazer a substituição
então escrever
como composição
com
Explicando a ideia (regra da cadeia): se
, então a derivada é
Vou calcular
e
separadamente e depois multiplicar — isso evita lidar direto com uma expressão complicada.
Passo 3
Cálculo de
usando a regra do quociente. A regra do quociente diz: se
com
e
diferenciáveis, então
Aqui
e
. Então
e
. Aplicando:
Passo 4
Cálculo de
com
. Usando a regra da potência (derivada de
é
):
Observação sobre domínio: essa fórmula é válida para
. Em
a expressão tem divisão por zero (derivada não finita), e
está fora do domínio da função original.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia:
Substituindo
e
e lembrando que
, obtemos
Essa expressão já está simplificada — o fator
cancelou.
Passo 6
Comentários finais sobre domínio e pontos especiais:
- A derivada acima é válida para
com . - Em
a função não está definida (denominador nulo). - Em
a derivada não é finita (aparece no denominador), portanto não existe derivada finita em .