Transformada de Laplace de uma função definida por partes. Calcule
para a função definida por:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace
da função definida por partes:
Informações relevantes fornecidas:
- O valor de
é no intervalo . - O valor de
é para . - A transformada de Laplace é pedida para a função inteira definida em
.]
Passo 2
Lembrete da definição da transformada de Laplace (a fórmula que usamos): para uma função
definida para
,
onde
é o parâmetro da transformada (geralmente complexo). Aqui:
-
é a variável de tempo (a variável de integração). -
é a variável complexa da transformada; para que a integral convirja, normalmente precisamos de nos casos envolvendo exponenciais decrescentes, como aqui. Vou explicar isso melhor quando avaliar os limites.
Passo 3
Como
é dada por partes, substituímos na definição e quebramos a integral conforme os intervalos:
Aqui usei explicitamente que
em
e
em
.
Passo 4
Avalio a primeira integral (zero a três):
Sobrou apenas a segunda integral:
Passo 5
Calculando a integral exponencial. A primitiva da função
em relação a
é
Agora aplicamos os limites de
até
:
Para que o termo em
vá a zero, precisamos de
, pois então
quando
. Assumindo
, o limite superior é
. Assim,
Passo 6
Portanto obtemos
Vou mostrar rapidamente um método alternativo (útil na prova): escrever
usando a função degrau de Heaviside
. Observa-se que
. A propriedade de deslocamento no tempo diz que se
então
onde
. No nosso caso,
é a constante
(i.e.,
corresponde a
deslocada), e
. Aplicando a propriedade obtemos novamente
com a mesma condição de convergência
.
Passo 7
Dicas rápidas para a prova (como fazer similarmente, sem erro):
- Sempre comece pela definição
e quebre a integral conforme as partes onde muda. - Verifique a convergência pedindo
quando aparecem integrais do tipo . - Conhecer a representação com o degrau
e a propriedade de deslocamento em tempo economiza tempo: reconhecer que uma função que “liga” a partir de corresponde a um fator na transformada.