Transformada de Laplace de uma função definida por partes. Calcule L\{f(t)\} para a função definida por:
f(t)=\left\{\begin{array}{lll} 0 & \text { se } & 0 \leq t \leq 3 \\ 2 & \text { se } & t \geq 3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace L\{f(t)\} da função definida por partes:
f(t)=\left\{\begin{array}{lll} 0 & \text{se} & 0 \le t \le 3,\\[4pt] 2 & \text{se} & t \ge 3. \end{array}\right.
Informações relevantes fornecidas:
  • O valor de f(t) é 0 no intervalo [0,3].
  • O valor de f(t) é 2 para t\ge 3.
  • A transformada de Laplace é pedida para a função inteira definida em t\ge0.]

Passo 2

Lembrete da definição da transformada de Laplace (a fórmula que usamos): para uma função f(t) definida para t\ge0,
L\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,f(t)\,dt,
onde s é o parâmetro da transformada (geralmente complexo). Aqui:
  • t é a variável de tempo (a variável de integração).
  • s é a variável complexa da transformada; para que a integral convirja, normalmente precisamos de \Re(s)>0 nos casos envolvendo exponenciais decrescentes, como aqui. Vou explicar isso melhor quando avaliar os limites.

Passo 3

Como f(t) é dada por partes, substituímos na definição e quebramos a integral conforme os intervalos:
L\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt =\int_{0}^{3} e^{-st}\cdot 0\,dt+\int_{3}^{\infty} e^{-st}\cdot 2\,dt.
Aqui usei explicitamente que f(t)=0 em [0,3] e f(t)=2 em [3,\infty).

Passo 4

Avalio a primeira integral (zero a três):
\int_{0}^{3} e^{-st}\cdot 0\,dt = 0.
Sobrou apenas a segunda integral:
L\{f\}(s)=2\int_{3}^{\infty} e^{-st}\,dt.

Passo 5

Calculando a integral exponencial. A primitiva da função e^{-st} em relação a t é
\int e^{-st}\,dt = -\frac{1}{s}e^{-st}\qquad (s\neq 0).
Agora aplicamos os limites de t=3 até t\to\infty:
2\int_{3}^{\infty} e^{-st}\,dt =2\left[\,-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{t=3}^{t\to\infty}.
Para que o termo em t\to\infty vá a zero, precisamos de \Re(s)>0, pois então e^{-st}\to 0 quando t\to\infty. Assumindo \Re(s)>0, o limite superior é 0. Assim,
2\left(0 - \left(-\frac{1}{s}e^{-3s}\right)\right) =2\cdot\frac{1}{s}e^{-3s}.

Passo 6

Portanto obtemos
L\{f\}(s)=\frac{2}{s}e^{-3s},\qquad \Re(s)>0.
Vou mostrar rapidamente um método alternativo (útil na prova): escrever f(t) usando a função degrau de Heaviside u(t-a). Observa-se que f(t)=2\,u(t-3). A propriedade de deslocamento no tempo diz que se g(t)=h(t-a)u(t-a) então
L\{g(t)\}(s)=e^{-as}H(s),
onde H(s)=L\{h(t)\}(s). No nosso caso, h(t) é a constante 2 (i.e., g(t)=2\,u(t-3) corresponde a h(t)=2 deslocada), e L\{2\}(s)=2/s. Aplicando a propriedade obtemos novamente
L\{f\}(s)=e^{-3s}\cdot\frac{2}{s}=\frac{2}{s}e^{-3s},
com a mesma condição de convergência \Re(s)>0.

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (como fazer similarmente, sem erro):
  • Sempre comece pela definição \int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt e quebre a integral conforme as partes onde f muda.
  • Verifique a convergência pedindo \Re(s)>0 quando aparecem integrais do tipo \int_{a}^{\infty} e^{-st}\,dt.
  • Conhecer a representação com o degrau u(t-a) e a propriedade de deslocamento em tempo economiza tempo: reconhecer que uma função que “liga” a partir de t=a corresponde a um fator e^{-as} na transformada.

Resposta

\displaystyle L\{f\}(s)=\frac{2}{s}e^{-3s},\\ \Re(s)>0

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