Nos itens abaixo, reescreva a série dada de modo que o termo genérico envolva apenas as potências x^{n}.
\sum_{n=1}^{+\infty} n a_{n} x^{n-1}+x \sum_{n=0}^{+\infty} a_{n} x^{n}

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a série dada de modo que o termo genérico envolva apenas as potências \,x^{n}.\n
As somas fornecidas no enunciado são:
\sum_{n=1}^{+\infty} n a_{n} x^{n-1}
e
x \sum_{n=0}^{+\infty} a_{n} x^{n}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A primeira soma vai de n=1 até +\infty e tem termo n a_{n} x^{n-1}.
  • A segunda soma é x vezes uma série que vai de n=0 até +\infty com termo a_{n} x^{n}.
  • O objetivo é combinar essas duas somas (ou reindexá‑las) para obter uma única série cuja potência de x seja x^{n} em todo o termo genérico.

Passo 2

Vamos transformar a primeira soma para que apareça potência x^{k} com índice começando em k=0. Isso se faz trocando o índice por k=n-1. Explicando o procedimento: quando se faz a substituição k=n-1, as potências x^{n-1} viram x^{k} e o somatório que antes começava em n=1 passa a começar em k=0. Aplicando:
\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1} = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)a_{k+1} x^{k},
onde foi trocado n=k+1 em todos os lugares do termo genérico.

Passo 3

Agora tratamos a segunda soma. Ela é
x \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n+1}.
Queremos potência x^{k}; fazemos a mudança de índice k=n+1. Assim, quando n=0 obtemos k=1 e a soma passa a ser:
\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n+1} = \sum_{k=1}^{\infty} a_{k-1} x^{k}.

Passo 4

Agora escrevemos ambas as séries com a mesma base x^{n} (troco a letra do índice para n para uniformizar):
\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^{n} \qquad\text{e}\qquad \sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1} x^{n}.
Para somá‑las, observe que a primeira série tem termo em n=0 enquanto a segunda começa em n=1. Separemos o termo n=0 da primeira série e somemos os termos a partir de n=1:
\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^{n} = a_{1} + \sum_{n=1}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^{n}.
Somando com a segunda série:
a_{1} + \sum_{n=1}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^{n} + \sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1} x^{n}.
Para n\ge 1 os coeficientes de x^{n} somam, ficando
a_{1} + \sum_{n=1}^{\infty} \bigl((n+1)a_{n+1} + a_{n-1}\bigr) x^{n}.

Passo 5

Podemos também escrever a resposta na forma \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n} com coeficientes explicitados:
c_{0}=a_{1},\qquad c_{n}=(n+1)a_{n+1}+a_{n-1}\quad\text{para }n\ge 1.
Como checagem rápida: se a_{n}=1 para todo n, então c_{0}=1 e c_{n}=n+2 para n\ge1, o que coincide com a reindexação direta dos termos.

Resposta

a_{1}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl((n+1)a_{n+1}+a_{n-1}\bigr)x^{n}

Exercícios relacionados