Nos itens abaixo, reescreva a série dada de modo que o termo genérico envolva apenas as potências
.
Passo 1
O enunciado pede para reescrever a série dada de modo que o termo genérico envolva apenas as potências
.\n
As somas fornecidas no enunciado são:
As somas fornecidas no enunciado são:
e
Informações relevantes fornecidas:
- A primeira soma vai de
até e tem termo . - A segunda soma é
vezes uma série que vai de até com termo . - O objetivo é combinar essas duas somas (ou reindexá‑las) para obter uma única série cuja potência de
seja em todo o termo genérico.
Passo 2
Vamos transformar a primeira soma para que apareça potência
com índice começando em
. Isso se faz trocando o índice por
. Explicando o procedimento: quando se faz a substituição
, as potências
viram
e o somatório que antes começava em
passa a começar em
. Aplicando:
onde foi trocado
em todos os lugares do termo genérico.
Passo 3
Agora tratamos a segunda soma. Ela é
Queremos potência
; fazemos a mudança de índice
. Assim, quando
obtemos
e a soma passa a ser:
Passo 4
Agora escrevemos ambas as séries com a mesma base
(troco a letra do índice para
para uniformizar):
Para somá‑las, observe que a primeira série tem termo em
enquanto a segunda começa em
. Separemos o termo
da primeira série e somemos os termos a partir de
:
Somando com a segunda série:
Para
os coeficientes de
somam, ficando
Passo 5
Podemos também escrever a resposta na forma
com coeficientes explicitados:
Como checagem rápida: se
para todo
, então
e
para
, o que coincide com a reindexação direta dos termos.