Um transformador de 460 \mathrm{~V}: 2400 \mathrm{~V} tem uma reatância de dispersão em série de 39,3 \mathrm{Ohm}, referida ao lado de alta tensão. Observa-se que uma carga conectada ao lado de baixa tensão está absorvendo 42 kW com fator de potência unitário e que a tensão mede 447 V . Calcule a tensão e o fator de potência correspondentes, medidos nos terminais de alta tensão.
Escolha a alternativa que contem as respostas corretas

Passo 1

O enunciado dá estas informações (vou listar exatamente os números que vieram no problema):
  • Transformador com relação de tensões 460\\ \mathrm{V} : 2400\\ \mathrm{V}.
  • Reatância de dispersão referida ao lado de alta tensão X = 39{,}3\\ \Omega.
  • Carga no lado de baixa tensão absorvendo 42\\ \mathrm{kW} com fator de potência unitário.
  • Tensão medida no lado de baixa tensão (terminal baixo) V_{LV} = 447\\ \mathrm{V}.
O que o problema pede:
  • Calcular a tensão medida nos terminais de alta tensão.
  • Calcular o fator de potência correspondente medido nos terminais de alta tensão.

Passo 2

Primeiro calculamos a razão de transformação (fator de transformação) a. A razão entre as tensões nominais (alta/baixa) é
a=\frac{2400}{460}=\frac{120}{23}\approx 5{,}217391.
Esse a vale também para refletir correntes e tensões entre os lados (tensão alta = a·tensão baixa; corrente no alto = corrente no baixo dividido por a).

Passo 3

Calcular a corrente no lado de baixa tensão. A carga consome P=42{,}000\\ \mathrm{W} com \text{pf}=1, logo a corrente no lado de baixa é
I_{LV}=\frac{P}{V_{LV}}=\frac{42000}{447}\\ \mathrm{A}.
Fazendo a conta:
I_{LV}=\frac{42000}{447}=94{,}074074\\ \mathrm{A}.
Explicação rápida: para potência ativa P e fator de potência unitário, P=V\cdot I (em valor eficaz), daí I=P/V.

Passo 4

Refletir a corrente para o lado de alta tensão. A corrente referente ao lado de alta é
I_{HV}=\frac{I_{LV}}{a}.
Substituindo os valores:
I_{HV}=\frac{42000/447}{120/23}=\frac{42000\cdot23}{447\cdot120}=\frac{8050}{447}\\ \mathrm{A}\approx18{,}008944\\ \mathrm{A}.
Explicação didática: a corrente se reduz na razão do transformador porque corrente e tensão se escalonam inversamente com o número de espiras; é por isso que dividimos por a.

Passo 5

Determinar a tensão equivalente no lado de alta que corresponde à tensão de 447 V no lado de baixa (ou seja, a tensão “no primário ideal” sem queda na reatância):
E_{HV}=a\cdot V_{LV}.
Substituindo:
E_{HV}=\frac{120}{23}\cdot447=\frac{53640}{23}=2332{,}173913\\ \mathrm{V}\approx2332{,}174\\ \mathrm{V}.
Explicação: se não houvesse reatância série, a tensão no terminal de alta idealmente seria a vezes a tensão do lado baixo.

Passo 6

Calcular a queda de tensão na reatância de dispersão, referida ao lado de alta. Como a reatância é puramente reativa, a queda é jX I_{HV}; o módulo da queda é
\Delta V_X = X\cdot I_{HV}=39{,}3\cdot18{,}008944.
Fazendo a conta:
\Delta V_X=\frac{39{,}3\cdot8050}{447}=\frac{316365}{447}\approx707{,}752\\ \mathrm{V}.
Comentário didático: essa queda é defasada de +90^\circ em relação à corrente (ou seja, é um componente imaginário puro na representação fasorial). Vou adotar a referência em que a corrente (e, portanto, V_{LV} e E_{HV}) têm ângulo 0^\circ.

Passo 7

Somar fasorialmente E_{HV} e a queda jX I_{HV} para obter a tensão nos terminais de alta tensão V_{t,HV}:
V_{t,HV}=E_{HV}+j\Delta V_X.
Como E_{HV} é real (ângulo 0^\circ) e a queda é imaginária positiva, o módulo e o ângulo são
|V_{t,HV}|=\sqrt{E_{HV}^2+(\Delta V_X)^2}, \qquad \theta_{V}=\arctan\!\left(\frac{\Delta V_X}{E_{HV}}\right).
Substituindo os números:
|V_{t,HV}|=\sqrt{2332{,}173913^2+707{,}7517^2}\approx2438{,}65\\ \mathrm{V},
\theta_{V}=\arctan\!\left(\frac{707{,}752}{2332{,}174}\right)\approx16{,}88^\circ.
Interpretação: a tensão nos terminais de alta está adiantada em relação à corrente por \theta_V (ou seja, a corrente está em atraso), então o fator de potência visto na alta tensão será de atraso (lagging).

Passo 8

Calcular o fator de potência na alta tensão. O fator de potência é o cosseno do ângulo entre tensão e corrente. Adotando a corrente com ângulo 0^\circ (referência), e sabendo que a tensão tem ângulo \theta_{V}, o fator de potência é
\text{pf}=\cos(\theta_{V})=\cos(16{,}88^\circ)\approx0{,}956.
Como a tensão está adiantada em relação à corrente, o fator de potência é “atraso” (lagging) visto na fonte de alta tensão.

Resposta

V_{t,HV}\approx2438,65\\ \mathrm{V}
\text{pf}\approx0{,}956\\ \text{(atraso)}

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