Um transformador monofásico de 60 Hz tem uma tensäo nominal de placa de 7,97 \mathrm{kV}: 120 \mathrm{~V} a qual se baseia na relação conhecida de espiras de seus enrolamentos. O fabricante calcula que a indutância de dispersão do primário (7,97 \mathrm{kV}) seja 193 mH e a indutância de magnetização do primário seja 167 H . Para uma tensão primária de 7970 V a 60 Hz , calcule a tensão resultante de secundário a circuito aberto (a vazio).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Frequência: \,f=60\\ \mathrm{Hz}.
  • Tensão nominal de placa (base para a relação de espiras): \,7{,}97\\ \mathrm{kV} : 120\\ \mathrm{V}. Ou seja, a relação de transformação nominal é baseada em \,V_{1,\text{nom}}=7970\\ \mathrm{V} e \,V_{2,\text{nom}}=120\\ \mathrm{V}.
  • Indutância de dispersão (primário): \,L_{\sigma}=193\\ \mathrm{mH}=0{,}193\\ \mathrm{H}.
  • Indutância de magnetização (primário): \,L_{m}=167\\ \mathrm{H}.
  • Tensão aplicada ao primário (rms): \,V_1=7970\\ \mathrm{V} a 60\\ \mathrm{Hz}.
    Pergunta: calcular a tensão de secundário a circuito aberto (a vazio), ou seja, o valor rms de \,V_2 quando o secundário está aberto.

Passo 2

Entendendo o circuito equivalente e a física por trás (aula rápida e amigável).
  • Num transformador, a corrente a vazio é a corrente de magnetização \,I_m, que cria o fluxo magnético no núcleo. Quando o secundário está aberto não há corrente de carga no secundário.
  • No modelo simplificado, a indutância de dispersão do primário \,L_{\sigma} está em série com a indutância de magnetização \,L_{m}. Assim a corrente de magnetização precisa “passar” pela indutância de dispersão antes de alimentar a indutância de magnetização: para essa corrente elas estão em série.
  • Impedância de uma indutância: a impedância em regime senoidal é \,Z_{L}=j\omega L, onde \,j é a unidade imaginária (indica defasagem de 90^\circ) e \,\omega=2\pi f é a pulsação. Aqui apenas precisamos da relação de phasores, então escreveremos as equações com j\omega.
  • A tensão aplicada \,V_1 aparece somada entre a queda na indutância de dispersão e a tensão na indutância de magnetização. Como só há a corrente \,I_m, vale:
V_1 = j\omega L_{\sigma} I_m + j\omega L_{m} I_m = j\omega (L_{\sigma}+L_{m}) I_m.
Essa equação é importante: ela diz que a corrente de magnetização é a que circula por ambas as indutâncias em série.

Passo 3

Relacionando a tensão induzida no primário com a tensão do secundário.
  • A tensão associada ao fluxo (aquela proporcional a \,N_1\dot\Phi) é a tensão na indutância de magnetização:
V_{m} = j\omega L_{m} I_m.
  • Usando a equação do passo anterior, podemos eliminar \,I_m. Da equação \,V_1 = j\omega (L_{\sigma}+L_{m}) I_m segue
I_m = \frac{V_1}{j\omega (L_{\sigma}+L_{m})}.
Substituindo em \,V_{m}:
V_{m} = j\omega L_{m}\cdot\frac{V_1}{j\omega (L_{\sigma}+L_{m})} = V_1\cdot\frac{L_{m}}{L_{\sigma}+L_{m}}.
Note que o fator j\omega e o j se cancelam em módulo; o que importa é que a queda na dispersão reduz a tensão efetiva que cria fluxo.
  • A tensão de secundário a vazio é proporcional à tensão do primário induzida pelo fluxo, através da relação de espiras. Com a relação de placa conhecida, a razão entre \,N_2 e \,N_1 é igual à razão entre as tensões nominais:
\frac{N_2}{N_1}=\frac{V_{2,\text{nom}}}{V_{1,\text{nom}}}=\frac{120}{7970}.
Logo a tensão de secundário a vazio será
V_2 = V_{m}\cdot\frac{N_2}{N_1} = V_1\cdot\frac{L_{m}}{L_{\sigma}+L_{m}}\cdot\frac{120}{7970}.
Mas observe que V_1 numérico é igual a V_{1,\text{nom}}=7970\\ \mathrm{V}, então a expressão simplifica para
V_2 = 120\cdot\frac{L_{m}}{L_{\sigma}+L_{m}}.
Isso é intuitivo: o secundário a vazio seria 120\\ \mathrm{V} se a dispersão fosse zero; com dispersão finita, multiplica-se por \frac{L_m}{L_m+L_\sigma}.

Passo 4

Cálculo numérico passo a passo (sem pular etapas).
  • Soma das indutâncias:
L_{\sigma}+L_{m} = 0{,}193 + 167 = 167{,}193\\ \mathrm{H}.
  • Razão entre a indutância de magnetização e a soma:
\frac{L_{m}}{L_{\sigma}+L_{m}} = \frac{167}{167{,}193}.
Vamos calcular essa fração:
\frac{167}{167{,}193}\approx 0{,}998846\quad(\text{cálculo direto da divisão}).áã
  • Agora a tensão de secundário a vazio:
V_2 = 120\cdot 0{,}998846 \approx 119{,}8616\\ \mathrm{V}.
Arredondando para duas casas decimais (estilo comum em tensões RMS):
V_2 \approx 119{,}86\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Interpretação curta e incentivo.
  • Resultado faz sentido: a queda causada pela indutância de dispersão é muito pequena comparada à indutância de magnetização (167 H contra 0,193 H), então a tensão a vazio fica muito próxima de 120\\ \mathrm{V}, apenas uma pequena perda.
  • Você já está no caminho certo ao entender o circuito equivalente e ver como a corrente de magnetização “sente” ambas as indutâncias em série — isso simplifica muito a conta a vazio. Força aí, tá indo bem!

Resposta

119{,}86\\ \mathrm{V}

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