Um transformador de 50 \mathrm{kVA}, 2400 / 240 \mathrm{~V}, possui Pnúcleo =200 \mathrm{~W}. A Pcobre é igual a 500 W na situação a plena carga. A tabela abaixo apresenta o ciclo diário de carga. Calcule a eficiência all-day do transformador.
% carga \mathbf{0} \boldsymbol{\%} \mathbf{5 0} \boldsymbol{\%} \mathbf{7 5} \boldsymbol{\%} \mathbf{1 0 0} \boldsymbol{\%} \mathbf{1 1 0} \boldsymbol{\%}
\cos (\boldsymbol{\theta}) 1 0,8 ind 0,9 ind 1
Horas 6 6 6 3 3

Passo 1

O enunciado trata de calcular a eficiência all-day de um transformador de 50, \mathrm{kVA} (tensão 2400/240, \mathrm{V}) cujas perdas no núcleo são P_{\rm núcleo}=200ú, \mathrm{W} e as perdas no cobre à plena carga são P_{\rm cobre,100\%}=500, \mathrm{W}. A eficiência all-day é definida como
\eta_{\rm all-day}=\frac{E_{\rm saída}}{E_{\rm saída}+E_{\rm perdas}}íí
onde E_{\rm saída}í é a energia entregue ao longo de 24 h e E_{\rm perdas} é a energia dissipada (núcleo + cobre) ao longo do mesmo período. Para resolver, vamos:
  1. Calcular as perdas no cobre em cada faixa de carga (variam com o quadrado da corrente).
  2. Calcular, em cada intervalo de horas, a energia de saída (potência de saída × tempo) e a energia de perdas (potência de perdas × tempo).
  3. Somar todas as energias e aplicar a fórmula da eficiência.

Passo 2

Determinar as perdas no cobre em cada faixa de carga. Se f é a fração de carga, então
P_{\rm cobre}(f)=P_{\rm cobre,100\%}\,f^2.
Em seguida achamos a potência total de perdas P_{\rm perdas}(f)=P_{\rm núcleo}+P_{\rm cobre}(f)ú.
Para cada faixa:
\begin{array}{l|c|c|c} \text{Carga} & f & P_{\rm cobre}(f) & P_{\rm perdas}(f) \\hline 0\% & 0 & 500\cdot0^2=0 & 200+0=200\\ \mathrm{W}\\\\ 50\%&0{,}5&500\cdot(0{,}5)^2=125 & 200+125=325\\ \mathrm{W}\\\\ 75\%&0{,}75&500\cdot(0{,}75)^2=281{,}25 & 200+281{,}25=481{,}25\\ \mathrm{W}\\\\ 100\%&1 &500\cdot1^2=500 &200+500=700\\ \mathrm{W}\\\\ 110\%&1{,}1&500\cdot(1{,}1)^2=605 &200+605=805\\ \mathrm{W} \end{array}

Passo 3

Calcular a energia de saída e a energia de perdas em cada intervalo. A potência de saída é
P_{\rm out}(f,\cos\theta)=50\,\mathrm{kVA}\times f\times\cos\theta.
Multiplicamos pelo número de horas para obter energia em \mathrm{kWh}. De modo análogo, convertemos P_{\rm perdas} em \mathrm{kW} e multiplicamos pelas horas.
\begin{array}{l|c|c|c|c} \text{Faixa}&h(\mathrm{h})&P_{\rm out}\,(\mathrm{kW})&E_{\rm out}\,(\mathrm{kWh})&E_{\rm perdas}\,(\mathrm{kWh})\\hline 0\% &6&50\cdot0\cdot\text{–}=0 &0 &0{,}200\cdot6=1{,}2\\\\ 50\% &6&50\cdot0{,}5\cdot1=25 &25\cdot6=150 &0{,}325\cdot6=1{,}95\\\\ 75\% &6&50\cdot0{,}75\cdot0{,}8=30 &30\cdot6=180 &0{,}48125\cdot6=2{,}8875\\\\ 100\% &3&50\cdot1\cdot0{,}9=45 &45\cdot3=135 &0{,}7\cdot3=2{,}1\\\\ 110\% &3&50\cdot1{,}1\cdot1=55 &55\cdot3=165 &0{,}805\cdot3=2{,}415 \end{array}
Somando:
E_{\rm saída} =150+180+135+165=630\\ \mathrm{kWh},í
E_{\rm perdas}=1{,}2+1{,}95+2{,}8875+2{,}1+2{,}415=10{,}5525\\ \mathrm{kWh}.

Passo 4

Aplicar a definição de eficiência all-day:
\eta_{\rm all-day} =\frac{E_{\rm saída}}{E_{\rm saída}+E_{\rm perdas}} =\frac{630}{630+10{,}5525} \approx0{,}9835.íí
Convertendo em porcentagem: \eta_{\rm all-day}\approx98{,}35\%.

Resposta

A eficiência all-day do transformador é aproximadamente 98{,}35\%.

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