Uma onda uniforme no ar tem \mathbf{E}=10 \cos \left(2 \pi \cdot 10^{6} t-\beta z\right) \hat{y}. Calcule \beta e \lambda. Faça um esboço do gráfico da intensidade do campo elétrico em função do tempo para z=0 e z=\frac{\lambda}{4}. Encontre o vetor \mathbf{H}.

Passo 1

O enunciado dá uma onda plana no ar propagando-se ao longo de +z com campo elétrico
\mathbf{E}(z,t)=10\cos\bigl(2\pi\cdot10^{6}t-\beta z\bigr)\,\hat y\quad(\text{V/m}).
Ele pede:
  1. O número de onda \beta e o comprimento de onda \lambda.
  2. Esboço de \,E versus t em z=0 e em z=\lambda/4.
  3. O vetor \mathbf{H}.
    Para resolver vamos usar:
  • A relação de dispersão em ar ( v=c).
  • \beta=\omega/v e \lambda=v/f.
  • Em onda plana livre, \mathbf{H}=(1/\eta)\,\hat k\times\mathbf{E}, com \eta\approx377\\ \Omega.

Passo 2

Identificamos a frequência angular e a frequência:
\omega=2\pi\cdot10^{6}\\ \text{rad/s},\qquad f=\frac{\omega}{2\pi}=10^{6}\\ \text{Hz}.
Como v=c=3\times10^{8} m/s,
\beta=\frac{\omega}{c}=\frac{2\pi\cdot10^{6}}{3\times10^{8}} =2\pi\cdot\frac{1}{3}\times10^{-2} \approx0{,}02094\\ \text{rad/m},
\lambda=\frac{c}{f}=\frac{3\times10^{8}}{10^{6}}=300\\ \text{m}.

Passo 3

Em z=0 temos
E(0,t)=10\cos(2\pi\cdot10^{6}t)\quad(\text{V/m}).
Esboço (eixo vertical em V/m, horizontal em \mus):
Em t=0, E=+10; em t=T/4=0{,}25\\ \mu\text{s}, cruza zero; em t=T/2=0{,}5\\ \mu\text{s}, atinge -10; etc.

Passo 4

Em z=\lambda/4=75 m a fase ganha
-\beta\,\lambda/4=-2\pi(\lambda)^{-1}\cdot\lambda/4=-\pi/2.
Logo
E\bigl(\tfrac\lambda4,t\bigr) =10\cos\bigl(2\pi\cdot10^{6}t-\tfrac\pi2\bigr) =10\sin(2\pi\cdot10^{6}t).
Esboço: seno de amplitude 10, zero em t=0, +10 em t=T/4, 0 em T/2, etc.

Passo 5

O vetor de Poynting na direção +z impõe
\mathbf{H} =\frac{1}{\eta}\,\hat k\times\mathbf{E} \quad\text{com}\;\hat k=\hat z.
Como \hat z\times\hat y=-\hat x e \eta\approx377\,\Omega,
\mathbf{H}(z,t) =-\frac{10}{377}\cos\bigl(2\pi\cdot10^{6}t-\beta z\bigr)\,\hat x \quad(\text{A/m}).

Resposta

\displaystyle \beta\approx0{,}02094\\ \mathrm{rad/m},\qquad\lambda=300\\ \mathrm{m}.\n
Em z=0: E=10\cos(2\pi\cdot10^{6}t) (cosseno de amplitude 10 V/m, T=1\\ \mu\text{s}).\n
Em z=\lambda/4: E=10\sin(2\pi\cdot10^{6}t) (seno de mesma amplitude e período).\n
\displaystyle \mathbf{H}(z,t) =-\frac{10}{377}\cos\bigl(2\pi\cdot10^{6}t-\beta z\bigr)\,\hat x\\ \text{A/m}.

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