Um transformador de distribuição de 50 \mathrm{kVA}, 2400: 240 \mathrm{~V} e 60 Hz tem uma impedância de dispersão de 0,72+\mathrm{j} 0,92 \Omega no enrolamento de alta tensão e 0,0070+\mathrm{j} 0,0090 \Omega no de baixa tensão. Na tensão e frequência nominais, a impedância \mathrm{Z} \varphi do ramo em derivação é 6,32+\mathrm{j} 43,7 \Omega, quando vista do lado de baixa tensão.
a. Desenhe o circuito equivalente referido ao lado de alta tensão e referido ao lado de baixa tensão. Indique numericamente as impedâncias no desenho.
b. Calcule o valor da corrente de excitação referenciado ao lado de alta e baixa tensão.
c. Considerando o circuito equivalente L com o ramo em derivação nos terminais de alta tensão, calcule e indique numericamente no desenho os valores de Req e Xeq.
d. Com os terminais de baixa tensão em aberto e 2400 V aplicados no primário, calcule a tensão no secundário, para os circuitos T e L.

Passo 1

Vou organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
Dados fornecidos:
  • Potência nominal: 50\\ \mathrm{kVA} (não precisamos deste valor para quase nada aqui, só confirmação).
  • Tensões nominais: primário (alta tensão) 2400\\ \mathrm{V}, secundário (baixa tensão) 240\\ \mathrm{V}.
  • Relação de transformação (razão de espiras): \displaystyle a=\frac{V_1}{V_2}=\frac{2400}{240}=10. Logo \displaystyle a^2=100.
  • Impedância de dispersão (leakage) no enrolamento de alta tensão (já no lado alto): \displaystyle Z_{H\_leak}=0,72+\mathrm{j}\,0,92\\ \Omega.
  • Impedância de dispersão no enrolamento de baixa tensão (no lado baixo): \displaystyle Z_{L\_leak}=0,0070+\mathrm{j}\,0,0090\\ \Omega.
  • Impedância do ramo em derivação vista do lado de baixa tensão (magnetização, ramo \varphi): \displaystyle Z_{\varphi\,(low)}=6,32+\mathrm{j}\,43,7\\ \Omega.
  • Perguntas:
    a) Desenhar (escrever) os circuitos equivalentes referidos ao lado de alta e ao lado de baixa e indicar numericamente as impedâncias.
    b) Calcular a corrente de excitação (corrente do ramo \varphi) referenciada ao lado alto e ao lado baixo.
    c) Considerando o circuito equivalente em L com o ramo em derivação nos terminais de alta tensão, calcular e indicar numericamente R_{eq} e X_{eq} (a resistência e a reatância do elemento série equivalente).
    d) Com secundário em aberto e aplicando 2400\\ \mathrm{V} no primário, calcular a tensão no secundário para os modelos T e L.

Passo 2

Primeiro vamos transformar impedâncias entre os lados (relação de referência). Regra: para referir uma impedância do lado baixo para o lado alto multiplica-se por \,a^2; para referir do lado alto para o lado baixo divide-se por \,a^2.
Calculemos as impedâncias referidas:
  1. Impedância do ramo de magnetização referida ao lado alto:
Z_{\varphi\,(high)}=a^{2}\,Z_{\varphi\,(low)}=100\cdot(6,32+\mathrm{j}\,43,7)=632+\mathrm{j}\,4370\\ \Omega.
  1. Impedância de dispersão do enrolamento de baixa referida ao lado alto:
Z_{L\_leak\to high}=a^{2}\,Z_{L\_leak}=100\cdot(0,0070+\mathrm{j}\,0,0090)=0,70+\mathrm{j}\,0,90\\ \Omega.
  1. Somando as dispersões no lado alto (quando for necessário a série total no lado alto):
Z_{leak,\;total\;(\;high\;)}=Z_{H\_leak}+Z_{L\_leak\to high}=(0,72+0,70)+\mathrm{j}(0,92+0,90)=1,42+\mathrm{j}\,1,82\\ \Omega.
  1. Agora as referências para o lado baixo (dividindo por a^2=100):
  • Impedância de dispersão do enrolamento alto referida ao baixo:
Z_{H\_leak\to low}=\frac{Z_{H\_leak}}{a^{2}}=\frac{0,72+\mathrm{j}\,0,92}{100}=0,0072+\mathrm{j}\,0,0092\\ \Omega.
  • Soma das dispersões no lado baixo:
Z_{leak,\;total\;(\;low\;)}=Z_{L\_leak}+Z_{H\_leak\to low}=(0,0070+0,0072)+\mathrm{j}(0,0090+0,0092)=0,0142+\mathrm{j}\,0,0182\\ \Omega.
Esses valores serão usados para desenhar/escrever os equivalentes e para os cálculos seguintes.

Passo 3

Resposta à parte (a): descrever numericamente os circuitos equivalentes referidos aos dois lados.
  • Equivalente referido ao lado de alta tensão (todas as impedâncias expressas no lado alto):
    • Série no primário (enrolamento de alta): \displaystyle Z_{H\_leak}=0,72+\mathrm{j}\,0,92\\ \Omega (já no lado alto).
    • Série do enrolamento de baixa referida ao alto: \displaystyle Z_{L\_leak\to high}=0,70+\mathrm{j}\,0,90\\ \Omega.
    • Ramo em derivação (magnetização) visto do lado alto: \displaystyle Z_{\varphi\,(high)}=632+\mathrm{j}\,4370\\ \Omega.
    • Observação: no modelo T as duas séries ficam uma antes e outra depois do ramo \varphi; no modelo L junta-se as séries em uma série única \displaystyle Z_{leak,\;total\;(\;high\;)}=1,42+\mathrm{j}\,1,82\\ \Omega e o ramo \varphi fica nos terminais do primário.
  • Equivalente referido ao lado de baixa tensão (todas as impedâncias no lado baixo):
    • Série do enrolamento de baixa: \displaystyle Z_{L\_leak}=0,0070+\mathrm{j}\,0,0090\\ \Omega.
    • Série do enrolamento de alta referida ao baixo: \displaystyle Z_{H\_leak\to low}=0,0072+\mathrm{j}\,0,0092\\ \Omega.
    • Ramo em derivação (magnetização) visto do lado baixo: \displaystyle Z_{\varphi\,(low)}=6,32+\mathrm{j}\,43,7\\ \Omega.
    • Soma das séries no lado baixo: \displaystyle Z_{leak,\;total\;(\;low\;)}=0,0142+\mathrm{j}\,0,0182\\ \Omega.
(Nas figuras: simplesmente colocar os valores acima nas posições correspondentes: para o T usar \;Z_{H\_leak} à esquerda, \;Z_{L\_leak\to high} à direita e Z_{\varphi\,(high)} em derivação no meio; para o L usar Z_{leak,\;total\;(\;high\;)} em série e Z_{\varphi\,(high)} em derivação nos terminais do primário. Equivalentemente no lado baixo com os números convertidos.)

Passo 4

Parte (b): calcular a corrente de excitação (corrente do ramo \varphi) referida aos dois lados.
Conceito / fórmula usada: a corrente de excitação (ramo de magnetização) é a corrente que atravessa Z_{\varphi} quando a tensão nominal é aplicada ao respectivo lado. Ou seja:
I_{\varphi\,(low)}=\frac{V_2}{Z_{\varphi\,(low)}},\qquad I_{\varphi\,(high)}=\frac{V_1}{Z_{\varphi\,(high)}}.
(Lembrando que V_1=2400\\ \mathrm{V} e V_2=240\\ \mathrm{V}.)
Cálculo detalhado (divisão de números complexos – mostro passo a passo):
  1. Corrente referida ao lado baixo:
I_{\varphi\,(low)}=\frac{240}{6,32+\mathrm{j}\,43,7}.
Fazendo a divisão complexa usando multiplicação pelo conjugado:
I_{\varphi\,(low)}=\frac{240(6,32-\mathrm{j}\,43,7)}{6,32^{2}+43,7^{2}}.
Calculemos os termos:
6,32^{2}=39,9424,\qquad 43,7^{2}=1909,69,\qquad \text{denom.}=1949,6324.
Numerador:
240\cdot6,32=1516,8,\qquad 240\cdot43,7=10488.
Logo
I_{\varphi\,(low)}=\frac{1516,8-\mathrm{j}\,10488}{1949,6324}=0,7779-\mathrm{j}\,5,378\\ \mathrm{A}.
Convertendo para magnitude e ângulo:
|I_{\varphi\,(low)}|=\sqrt{0,7779^{2}+5,378^{2}}=5,435\\ \mathrm{A},\qquad \angle I_{\varphi\,(low)}\approx-81,76^\circ.
Portanto podemos escrever o fasor como
I_{\varphi\,(low)}\approx 5,435\angle -81,76^\circ\\ \mathrm{A}.
  1. Corrente referida ao lado alto:
I_{\varphi\,(high)}=\frac{2400}{632+\mathrm{j}\,4370}.
Observe que, por linearidade, I_{\varphi\,(high)}=I_{\varphi\,(low)}/a (correntes referidas escalam por 1/a). Mas faremos a divisão para confirmar:
I_{\varphi\,(high)}=\frac{2400(632-\mathrm{j}\,4370)}{632^{2}+4370^{2}}.
Denominador calculado previamente: 632^{2}+4370^{2}=19\,496\,324.
Numerador real/imag:
2400\cdot632=1\,516\,800,\qquad 2400\cdot4370=10\,488\,000.
I_{\varphi\,(high)}=\frac{1\,516\,800-\mathrm{j}\,10\,488\,000}{19\,496\,324}=0,07779-\mathrm{j}\,0,5378\\ \mathrm{A}.
Magnitude e ângulo:
|I_{\varphi\,(high)}|=0,5435\\ \mathrm{A},\qquad \angle I_{\varphi\,(high)}\approx-81,76^\circ.
Ou como fasor:
I_{\varphi\,(high)}\approx 0,5435\angle -81,76^\circ\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Parte (c): circuito L com o ramo em derivação nos terminais de alta tensão — calcular R_{eq} e X_{eq}.
Explicação do que são R_{eq} e X_{eq}: no modelo L o conjunto das impedâncias de dispersão (leakage) é reunido em uma única impedância série vista pelo primário. Essa impedância é \displaystyle Z_{eq}=R_{eq}+\mathrm{j}\,X_{eq}. Como já calculamos a soma das dispersões referidas ao lado alto:
Z_{eq}=Z_{leak,\;total\;(\;high\;)}=1,42+\mathrm{j}\,1,82\\ \Omega.
Portanto:
R_{eq}=1,42\\ \Omega,\qquad X_{eq}=1,82\\ \Omega.

Passo 6

Parte (d): tensão no secundário com terminais de baixa em aberto e 2400\\ \mathrm{V} aplicados no primário — comparar modelos T e L.
Ideia geral: com secundário em aberto, só circula a corrente de excitação pelo ramo \varphi. No modelo L o ramo \varphi fica nos terminais do primário em paralelo com a entrada, então há uma divisão de tensão entre Z_{eq} (série) e Z_{\varphi\,(high)}. No modelo T o ramo \varphi está no ponto médio entre as duas impedâncias de dispersão (usando os valores originais de cada enrolamento) e, com secundário aberto, o lado secundário não conduz, de modo que a tensão no ponto médio é obtida pela divisão entre a impedância de dispersão do primário e Z_{\varphi\,(high)}. Em ambos os casos a tensão do secundário é a tensão do ramo \varphi dividida por a.
Vou calcular as duas tensões:
  1. Modelo L (serie único \,Z_{eq}=1,42+\mathrm{j}\,1,82\\ \Omega em série com o ramo \,Z_{\varphi\,(high)} ligado aos terminais):
Tensão no ramo de magnetização (no ponto que aparece no primário) é a divisão:
V_{m\,(L)}=V_1\cdot\frac{Z_{\varphi\,(high)}}{Z_{eq}+Z_{\varphi\,(high)}}.
Usamos V_1=2400\\ \mathrm{V}, Z_{eq}=1,42+\mathrm{j}\,1,82, Z_{\varphi\,(high)}=632+\mathrm{j}\,4370.
Como Z_{eq} é muito pequeno diante de Z_{\varphi\,(high)}, a tensão praticamente não cai, mas vamos calcular com precisão (faço a divisão utilizando a aproximação de série pequena mostrada nos cálculos):
Fazendo a divisão complexa obtém-se numericamente:
V_{m\,(L)}\approx 2398,91+\mathrm{j}\,0,623\\ \mathrm{V}.
A tensão do secundário (aberta) é essa tensão dividida por a=10:
V_{2,\;(L)}=\frac{V_{m\,(L)}}{a}\approx 239,891+\mathrm{j}\,0,0623\\ \mathrm{V}.
Magnitude e ângulo:
|V_{2,\;(L)}|\approx 239,891\\ \mathrm{V},\qquad \angle V_{2,\;(L)}\approx 0,015^\circ.
  1. Modelo T (usar a impedância de dispersão do primário isoladamente à esquerda): aqui o ramo de magnetização forma um divisor com a impedância de dispersão do primário somente (porque o caminho direito está em aberto). Logo:
V_{m\;(T)}=V_1\cdot\frac{Z_{\varphi\,(high)}}{Z_{H\_leak}+Z_{\varphi\,(high)}},
com Z_{H\_leak}=0,72+\mathrm{j}\,0,92\\ \Omega.
Calculando a divisão:
V_{m\;(T)}\approx 2399,45+\mathrm{j}\,0,316\\ \mathrm{V}.
Dividindo por a para obter a tensão no secundário:
V_{2,\;(T)}=\frac{V_{m\;(T)}}{a}\approx 239,945+\mathrm{j}\,0,0316\\ \mathrm{V}.
Magnitude e ângulo:
|V_{2,\;(T)}|\approx 239,945\\ \mathrm{V},\qquad \angle V_{2,\;(T)}\approx 0,0076^\circ.
Interpretação curta: as duas tensões são praticamente 240\\ \mathrm{V} com uma diferença ínfima na 3ª casa decimal, porque as impedâncias de dispersão são muito pequenas comparadas ao ramo de magnetização.

Resposta

a) Equivalentes e impedâncias numéricas:\n
  • Referido ao lado alto:\n
    Z_{H\_leak}=0,72+\mathrm{j}\,0,92\\ \Omega,\quad Z_{L\_leak\to high}=0,70+\mathrm{j}\,0,90\\ \Omega,\quad Z_{\varphi\,(high)}=632+\mathrm{j}\,4370\\ \Omega.\n
    (T-model: usar Z_{H\_leak} à esquerda, Z_{L\_leak\to high} à direita e Z_{\varphi\,(high)} em derivação no meio. L-model: série única Z_{eq}=1,42+\mathrm{j}\,1,82\\ \Omega e Z_{\varphi\,(high)} nos terminais do primário.)\n
  • Referido ao lado baixo:\n
    Z_{L\_leak}=0,0070+\mathrm{j}\,0,0090\\ \Omega,\quad Z_{H\_leak\to low}=0,0072+\mathrm{j}\,0,0092\\ \Omega,\quad Z_{\varphi\,(low)}=6,32+\mathrm{j}\,43,7\\ \Omega.\n
b) Corrente de excitação:\n
I_{\varphi\,(low)}\approx 5,435\angle -81,76^\circ\\ \mathrm{A} (fasor) =\;0,7779-\mathrm{j}\,5,378\\ \mathrm{A}.\n
I_{\varphi\,(high)}\approx 0,5435\angle -81,76^\circ\\ \mathrm{A} (fasor) =\;0,07779-\mathrm{j}\,0,5378\\ \mathrm{A}.
c) Para o circuito L (impedância série total referida ao primário):\n
\displaystyle R_{eq}=1,42\\ \Omega,\qquad X_{eq}=1,82\\ \Omega.
d) Tensão no secundário com secundário em aberto e V_1=2400\\ \mathrm{V}:\n
  • Modelo L: V_{2,\;(L)}\approx 239,891+\mathrm{j}\,0,0623\\ \mathrm{V} \Rightarrow |V_{2,\;(L)}|\approx 239,891\\ \mathrm{V}.\n
  • Modelo T: V_{2,\;(T)}\approx 239,945+\mathrm{j}\,0,0316\\ \mathrm{V} \Rightarrow |V_{2,\;(T)}|\approx 239,945\\ \mathrm{V}.

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