Considere um circuito série RLC alimentado por uma fonte de tensão de onda quadrada com valor de pico 10 V e período 1 segundo.
a) Apresente a equação diferencial que associe a tensão de alimentação à corrente deste circuito.
b) Apresente a solução homogênea.
Passo 1
O enunciado nos dá um circuito série RLC alimentado por uma fonte de tensão de onda quadrada com valor de pico 10\\ \text{V} e período 1\\ \text{s}. As perguntas são:
(a) apresentar a equação diferencial que relaciona a tensão de alimentação v_s(t) à corrente i(t) do circuito;
(b) apresentar a solução homogênea (ou seja, a solução do sistema quando a fonte é nula).
Informações relevantes fornecidas:
Circuito em série com resistor R, indutor L e capacitor C.
Fonte v_s(t) é uma onda quadrada de amplitude 10\\ \text{V} e período T=1\\ \text{s}. (Isto significa que v_s(t)=+10\\ \text{V} por 0\le t<T/2 e v_s(t)=-10\\ \text{V} por T/2\le t<T, e assim por diante, de forma periódica.)
A corrente que percorre todos os elementos é a mesma e será chamada de i(t).
Passo 2
Montando a equação básica (KVL) e explicando as tensões nos elementos:
Para o resistor vale a Lei de Ohm: a tensão no resistor é v_R(t)=R\,i(t). Aqui R é a resistência em ohms e i(t) a corrente em ampères.
Para o indutor vale a relação elétrica do indutor: a tensão é v_L(t)=L\,\dfrac{di}{dt}(t). Aqui L é a indutância e \dfrac{di}{dt} é a derivada da corrente (V = L di/dt).
Para o capacitor a tensão é dada pela integral da corrente: v_C(t)=\dfrac{1}{C}\displaystyle\int_{t_0}^{t} i(\tau)\,d\tau + v_C(t_0). Se escolhermos medir a partir de um instante onde a tensão inicial for conhecida, a forma mais compacta (sem constantes explícitas) é v_C(t)=\dfrac{1}{C}\displaystyle\int i(t)\,dt (nota: isto contém uma constante de integração que representa a tensão inicial no capacitor).
Pela Lei das Malhas (KVL) em série, a soma algébrica das quedas de tensão nos elementos = tensão da fonte. Assim:
Observação importante (didática e prática): como v_s(t) é uma onda quadrada (função descontínua com saltos), a derivada \dfrac{dv_s}{dt} contém deltas de Dirac (impulsos) nos instantes de transição. Por isso, se for trabalhar com a equação na forma derivada, é preciso ter cuidado com esses impulsos; alternativamente pode-se trabalhar na forma integral original por trechos onde v_s é constante.
Passo 4
Escrevendo explicitamente a equação homogênea:
A equação homogênea é a equação obtida quando a fonte é anulada (ou seja, lado direito igual a zero). Tomando v_s(t)=0 (ou removendo a parte forçante) obtemos:
onde A,B são constantes reais ajustadas pelas condições iniciais i(0) e \frac{di}{dt}(0).
Passo 7
Comentários práticos e como determinar as constantes:
Para determinar A e B usa-se as condições iniciais do circuito (por exemplo i(0) e a tensão inicial no capacitor v_C(0) ou equivalente \left.\dfrac{di}{dt}\right|_{t=0} obtida via KVL). Por exemplo, da equação não-homogênea original em t=0 pode-se obter L\left.\dfrac{d i}{dt}\right|_{0}=v_s(0)-R i(0)-v_C(0).
Observação motivadora: a forma exata da resposta forçada (particular) ao sinal quadrado envolverá soluções por trechos (cada trecho com v_s=+10 ou v_s=-10) e, se quiser usar a forma diferenciada, atenção aos impulsos nas transições.