Considere um circuito série RLC alimentado por uma fonte de tensão de onda quadrada com valor de pico 10 V e período 1 segundo.
a) Apresente a equação diferencial que associe a tensão de alimentação à corrente deste circuito.
b) Apresente a solução homogênea.

Passo 1

O enunciado nos dá um circuito série RLC alimentado por uma fonte de tensão de onda quadrada com valor de pico 10\\ \text{V} e período 1\\ \text{s}. As perguntas são:
  • (a) apresentar a equação diferencial que relaciona a tensão de alimentação v_s(t) à corrente i(t) do circuito;
  • (b) apresentar a solução homogênea (ou seja, a solução do sistema quando a fonte é nula).
Informações relevantes fornecidas:
  • Circuito em série com resistor R, indutor L e capacitor C.
  • Fonte v_s(t) é uma onda quadrada de amplitude 10\\ \text{V} e período T=1\\ \text{s}. (Isto significa que v_s(t)=+10\\ \text{V} por 0\le t<T/2 e v_s(t)=-10\\ \text{V} por T/2\le t<T, e assim por diante, de forma periódica.)
  • A corrente que percorre todos os elementos é a mesma e será chamada de i(t).

Passo 2

Montando a equação básica (KVL) e explicando as tensões nos elementos:
  • Para o resistor vale a Lei de Ohm: a tensão no resistor é v_R(t)=R\,i(t). Aqui R é a resistência em ohms e i(t) a corrente em ampères.
  • Para o indutor vale a relação elétrica do indutor: a tensão é v_L(t)=L\,\dfrac{di}{dt}(t). Aqui L é a indutância e \dfrac{di}{dt} é a derivada da corrente (V = L di/dt).
  • Para o capacitor a tensão é dada pela integral da corrente: v_C(t)=\dfrac{1}{C}\displaystyle\int_{t_0}^{t} i(\tau)\,d\tau + v_C(t_0). Se escolhermos medir a partir de um instante onde a tensão inicial for conhecida, a forma mais compacta (sem constantes explícitas) é v_C(t)=\dfrac{1}{C}\displaystyle\int i(t)\,dt (nota: isto contém uma constante de integração que representa a tensão inicial no capacitor).
  • Pela Lei das Malhas (KVL) em série, a soma algébrica das quedas de tensão nos elementos = tensão da fonte. Assim:
v_s(t)=v_R(t)+v_L(t)+v_C(t)=R\,i(t)+L\,\frac{di}{dt}(t)+\frac{1}{C}\int i(t)\,dt.

Passo 3

Passando para a forma diferencial sem integral (preferida para análise de ODE de segunda ordem):
  • Diferenciando ambos os lados da equação do Passo 2 em relação a t (assumindo funções suficientes para derivar) obtemos:
\frac{dv_s}{dt}=R\,\frac{di}{dt}+L\,\frac{d^2 i}{dt^2}+\frac{1}{C}\,i(t).
  • Reorganizando os termos em ordem decrescente de derivadas da corrente:
L\,\frac{d^2 i}{dt^2}+R\,\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}\,i(t)=\frac{dv_s}{dt}.
Observação importante (didática e prática): como v_s(t) é uma onda quadrada (função descontínua com saltos), a derivada \dfrac{dv_s}{dt} contém deltas de Dirac (impulsos) nos instantes de transição. Por isso, se for trabalhar com a equação na forma derivada, é preciso ter cuidado com esses impulsos; alternativamente pode-se trabalhar na forma integral original por trechos onde v_s é constante.

Passo 4

Escrevendo explicitamente a equação homogênea:
  • A equação homogênea é a equação obtida quando a fonte é anulada (ou seja, lado direito igual a zero). Tomando v_s(t)=0 (ou removendo a parte forçante) obtemos:
L\,\frac{d^2 i_h}{dt^2}+R\,\frac{d i_h}{dt}+\frac{1}{C}\,i_h(t)=0,
onde i_h(t) é a solução homogênea (resposta natural) do circuito.

Passo 5

Resolver a equação homogênea por método padrão (equação linear com coeficientes constantes):
  • Procura-se soluções do tipo i_h(t)=e^{r t}. Substituindo na equação homogênea gera a equação característica:
L\,r^2 + R\,r + \frac{1}{C}=0.
  • Essa é uma equação quadrática em r. As raízes são
r = \frac{-R \pm \sqrt{R^2 - 4\frac{L}{C}}}{2L}.
  • Para simplificar a interpretação física, define-se o fator de amortecimento e a frequência natural:
\alpha=\frac{R}{2L},\qquad \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}.
Reescrevendo as raízes em termos dessas grandezas:
r = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}.

Passo 6

Apresentar a forma geral da solução homogênea dependendo do regime de amortecimento (explicar cada caso e dar a fórmula final):
  • Caso 1 — Sobreamortecido (overdamped), quando \alpha>\omega_0 (ou R^2>4L/C). As raízes r_1,r_2 são reais distintas e a solução é
i_h(t)=A\,e^{r_1 t}+B\,e^{r_2 t},
onde r_{1,2}=-\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2} e A,B são constantes determinadas pelas condições iniciais.
  • Caso 2 — Criticamente amortecido (critically damped), quando \alpha=\omega_0 (ou R^2=4L/C). As raízes coincidem r=-\alpha e a solução é
i_h(t)=(A+B t)\,e^{-\alpha t},
com A,B determinados pelas condições iniciais.
  • Caso 3 — Subamortecido (underdamped), quando \alpha<\omega_0 (ou R^2<4L/C). As raízes são complexas conjugadas r=-\alpha\pm j\omega_d, com
\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}=\sqrt{\frac{1}{LC}-\left(\frac{R}{2L}\right)^2}.
A solução homogênea é então
i_h(t)=e^{-\alpha t}\bigl(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\bigr),
onde A,B são constantes reais ajustadas pelas condições iniciais i(0) e \frac{di}{dt}(0).

Passo 7

Comentários práticos e como determinar as constantes:
  • Para determinar A e B usa-se as condições iniciais do circuito (por exemplo i(0) e a tensão inicial no capacitor v_C(0) ou equivalente \left.\dfrac{di}{dt}\right|_{t=0} obtida via KVL). Por exemplo, da equação não-homogênea original em t=0 pode-se obter L\left.\dfrac{d i}{dt}\right|_{0}=v_s(0)-R i(0)-v_C(0).
  • Observação motivadora: a forma exata da resposta forçada (particular) ao sinal quadrado envolverá soluções por trechos (cada trecho com v_s=+10 ou v_s=-10) e, se quiser usar a forma diferenciada, atenção aos impulsos nas transições.

Resposta

(a) v_s(t)=R\,i(t)+L\,\frac{di}{dt}(t)+\frac{1}{C}\int i(t)\,dt
ou, em forma diferencial de segunda ordem,
L\,\frac{d^2 i}{dt^2}+R\,\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}\,i(t)=\frac{dv_s}{dt}.
(b) A equação homogênea e suas soluções gerais:
L\,\frac{d^2 i_h}{dt^2}+R\,\frac{d i_h}{dt}+\frac{1}{C}\,i_h(t)=0,
com raízes r=-\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}, \alpha=\dfrac{R}{2L}, \omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}.
  • Sobreamortecido ( \alpha>\omega_0): \;i_h(t)=A e^{r_1 t}+B e^{r_2 t}.
  • Criticamente amortecido ( \alpha=\omega_0): \;i_h(t)=(A+Bt)e^{-\alpha t}.
  • Subamortecido ( \alpha<\omega_0): \;i_h(t)=e^{-\alpha t}\bigl(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\bigr), com \omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}.

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