El transformador del problema 4.9 opera a plena carga y factor de potencia de 0.866 en atraso. Determine su regulación del voltaje y eficiencia usando cantidades por unidad.

Passo 1

Qué pide el enunciado: calcular la regulación de voltaje y la eficiencia del transformador trabajando a plena carga y factor de potencia \cos\varphi = 0{,}866 en atraso.
Información proporcionada por el enunciado: únicamente el factor de potencia \cos\varphi = 0{,}866 (lo que implica \varphi = 30^\circ, corriente en atraso).
Información que falta y que es imprescindible para obtener resultados numéricos:
  • El valor de la impedancia equivalente referida del transformador en por unidad, es decir R_{pu} y X_{pu} (o Z_{pu}=R_{pu}+jX_{pu}).
  • Las pérdidas en hierro (pérdidas en núcleo) en por unidad P_{fe,pu} o en watts y la base de potencia S_{base} para convertirlas.
  • Confirmación de que la carga es la plena carga nominal (voy a asumir que sí) y que la referencia de tensión terminal es V_{pu}=1.
    Sin estos datos no es posible dar un valor numérico para la regulación y la eficiencia del problema 4.9.

Passo 2

Concepto de magnitudes en por unidad (pu) — mini-clase para que quede claro:
  • Se elige una base de potencia S_{base} (por ejemplo la potencia nominal del transformador) y una base de tensión V_{base} (en el lado considerado).
  • La corriente base es I_{base} = \dfrac{S_{base}}{V_{base}} para monofásico (para trifásico I_{base}=\dfrac{S_{base}}{\sqrt{3}\,V_{base}}).
  • Cualquier impedancia se expresa en pu respecto a la base de impedancia Z_{base}=\dfrac{V_{base}^2}{S_{base}}.
  • Ventaja: en pu las corrientes, tensiones y potencias quedan en una misma escala y las fórmulas quedan muy simples.

Passo 3

Cómo se calcula la regulación de voltaje en por unidad (explicado paso a paso y didáctico):
Definiciones y suposiciones habituales:
  • Tomamos la tensión terminal (lado considerado) en carga como referencia V_t = 1\angle 0^\circ p.u. (valor nominal mantenido en bornes).
  • A plena carga la corriente en pu es I_{pu}=1\angle -\varphi (el ángulo negativo porque es atraso). Aquí \varphi=30^\circ dado \cos\varphi=0{,}866. Entonces
I_{pu}=1\angle -30^\circ = \cos 30^\circ - j\sin 30^\circ = 0{,}866 - j\,0{,}5.
  • La impedancia equivalente referida en pu es Z_{pu}=R_{pu}+jX_{pu}.
Fórmula exacta por fasores:
  • La fem interna (o tensión en el extremo “sin caída”) es
E = V_t + I_{pu}\,Z_{pu}.
  • La regulación en pu se define como la diferencia entre la magnitud de E (tensión sin carga) y la magnitud de V_t (tensión en carga), dividida por V_t. Con V_t=1:
\text{Regulación (pu)} = |E| - 1.ó
  • Para calcular E escribimos I_{pu} en términos de seno y coseno y multiplicamos:
I_{pu}= \cos\varphi - j\sin\varphi.
I_{pu}Z_{pu} = (R_{pu}+jX_{pu})(\cos\varphi - j\sin\varphi).
Desarrollando (muy importante ver los términos reales e imaginarios):
I_{pu}Z_{pu} = \underbrace{(R_{pu}\cos\varphi + X_{pu}\sin\varphi)}_{a} \;+\; j\underbrace{(-R_{pu}\sin\varphi + X_{pu}\cos\varphi)}_{b}.
Entonces
E = 1 + a + j b.
|E| = \sqrt{(1+a)^2 + b^2}.
Por tanto
\text{Regulación (pu)} = \sqrt{(1+a)^2 + b^2}\;-\;1,ó
donde
a = R_{pu}\cos\varphi + X_{pu}\sin\varphi,\qquad b = -R_{pu}\sin\varphi + X_{pu}\cos\varphi.
Fórmula aproximada (muy usada en la práctica cuando IZ es pequeño):
  • Si la caída I_{pu}Z_{pu} es pequeña, se puede linearizar y tomar sólo la parte real:
\text{Regulación (aprox, pu)} \approx \Re\{I_{pu}Z_{pu}\} = R_{pu}\cos\varphi + X_{pu}\sin\varphi.ó
  • En porcentaje: \text{Regulación (\%)} = 100\cdot \text{Regulación (pu)}óó.

Passo 4

Cómo se calcula la eficiencia usando pu — paso a paso didáctico:
Definición de eficiencia:
\eta = \dfrac{P_{out}}{P_{in}} = \dfrac{P_{out}}{P_{out} + P_{pérdidas}}.é
En pu, a plena carga:
  • Potencia activa de salida en pu:
P_{out,pu} = S_{pu}\cos\varphi = 1\cdot\cos\varphi = \cos\varphi.
  • Pérdidas por efecto Joule (pérdidas en cobre) en pu:
P_{cu,pu} = I_{pu}^2 R_{pu} = 1^2\cdot R_{pu} = R_{pu}.
(Recordar que R_{pu} que se usa aquí debe ser la componente resistiva referida a la base; si el R dado en la impedancia Z_{pu} es exactamente eso, entonces se usa directamente).
  • Pérdidas en núcleo (pérdidas en hierro) deben darse o convertirse a pu:
P_{fe,pu} = \dfrac{P_{fe}\\ (\text{W})}{S_{base}\\ (\text{W})},
si vienen en watts, o puede estar ya dado en pu.
Entonces la eficiencia a plena carga y factor de potencia dado es:
\eta = \dfrac{P_{out,pu}}{P_{out,pu} + P_{cu,pu} + P_{fe,pu}} = \dfrac{\cos\varphi}{\cos\varphi + R_{pu} + P_{fe,pu}}.

Passo 5

Ejemplo numérico ilustrativo (para ver los cálculos paso a paso). Esto es un ejemplo hipotético: supongamos R_{pu}=0{,}01, X_{pu}=0{,}05 y P_{fe,pu}=0{,}005. Manteniendo \cos\varphi=0{,}866 y \varphi=30^\circ.
  1. Calcular a y b:
a = R_{pu}\cos\varphi + X_{pu}\sin\varphi = 0{,}01\cdot0{,}866 + 0{,}05\cdot0{,}5 = 0{,}00866 + 0{,}025 = 0{,}03366.
b = -R_{pu}\sin\varphi + X_{pu}\cos\varphi = -0{,}01\cdot0{,}5 + 0{,}05\cdot0{,}866 = -0{,}005 + 0{,}043301 = 0{,}038301.
  1. Magnitud de E y regulación:
|E| = \sqrt{(1+a)^2 + b^2} = \sqrt{(1{,}03366)^2 + (0{,}038301)^2} \approx \sqrt{1{,}06844 + 0{,}001467} \approx \sqrt{1{,}069907} \approx 1{,}03443.
\text{Regulación (pu)} = 1{,}03443 - 1 = 0{,}03443.ó
\text{Regulación (\%)} \approx 3{,}443\%.ó
(Con la aproximación lineal R\cos\varphi+X\sin\varphi=0{,}03366 da 3{,}366\%, cercano al exacto).
  1. Eficiencia:
P_{out,pu}=\cos\varphi=0{,}866,\qquad P_{cu,pu}=R_{pu}=0{,}01,\qquad P_{fe,pu}=0{,}005.
\eta = \dfrac{0{,}866}{0{,}866 + 0{,}01 + 0{,}005} = \dfrac{0{,}866}{0{,}881} \approx 0{,}98297 \approx 98{,}30\%.
Este ejemplo muestra el procedimiento numérico completo: primero se calcula la caída IZ, se obtiene la magnitud de E, de ahí la regulación; luego se suman pérdidas en pu para hallar la eficiencia.

Passo 6

Resumen práctico (qué hacer cuando tengas los datos del problema 4.9):
  1. Identificar R_{pu}, X_{pu}, P_{fe} (en W o pu) y S_{base}.
  2. Tomar I_{pu}=1\angle -\varphi con \varphi dado por el factor de potencia.
  3. Calcular a y b como en Paso 3, obtener |E| y la regulación en pu y en %.
  4. Calcular P_{out,pu}=\cos\varphi, P_{cu,pu}=R_{pu} y convertir P_{fe} a pu si hace falta; obtener \eta por la fórmula del Paso 4.
    Si me das ahora los valores de R_{pu}, X_{pu} y P_{fe} (o las pérdidas en W y la base S_{base}), hago el cálculo numérico exacto para el problema 4.9.

Resposta

No es posible calcular numéricamente la regulación de voltaje y la eficiencia porque no se han proporcionado los datos del problema 4.9 ( R_{pu} y X_{pu}, pérdidas en hierro en pu o en W y la base de potencia).

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