Un transformador reductor de dos devanados y 230 \mathrm{kVA}, 2300 / 230 \mathrm{~V} y 60 Hz tiene los parámetros siguientes: R_{H}=1.2 \Omega, X_{H}=3 \Omega, R_{L}=12 \mathrm{~m} \Omega, X_{L}=30 \mathrm{~m} \Omega, R_{c H}=2 \mathrm{k} \Omega y X_{m H}=1.8 \mathrm{k} \Omega. Si el transformador opera a media carga a su voltaje especificado en terminales con un factor de potencia igual a la unidad, ¿cuál es su eficiencia?

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados do transformador:
    • Potência nominal: S_{n}=230\\ \mathrm{kVA}.
    • Tensões nominais: primário (alto) V_{H}=2300\\ \mathrm{V} e secundário (baixo) V_{L}=230\\ \mathrm{V}.
    • Frequência: 60\\ \mathrm{Hz} (não influencia diretamente nos cálculos de perdas já fornecidas).
    • Resistências e reatâncias:
      • R_{H}=1{,}2\\ \Omega, X_{H}=3\\ \Omega (enrolamento de alta tensão).
      • R_{L}=12\\ \mathrm{m}\Omega = 0{,}012\\ \Omega, X_{L}=30\\ \mathrm{m}\Omega=0{,}03\\ \Omega (enrolamento de baixa tensão).
      • Ramal de magnetização (no lado alto): R_{cH}=2\\ \mathrm{k}\Omega =2000\\ \Omega e X_{mH}=1{,}8\\ \mathrm{k}\Omega =1800\\ \Omega.
  • Operação solicitada:
    • Carga: meia carga (ou seja, fator de carga 0{,}5 do nominal).
    • Tensão nos terminais: tensão nominal.
    • Fator de potência da carga: unidade ( \text{pf}=1).
  • O que se pede:
    • Calcular a eficiência \eta do transformador nessas condições.

Passo 2

Primeiro calculo a potência de saída (ativa) entregue na meia carga e as correntes nominais.
  • Potência de saída à meia carga e \text{pf}=1:
P_{out}=S_{n}\times 0{,}5 \times 1 = 230\\ \mathrm{kVA}\times 0{,}5 = 115\\ \mathrm{kW}.
  • Correntes nominais (em vazio de fase única equivalente — aqui tratamos como monofásico para cálculo de perdas, porque as grandezas são por fase ou totais compatíveis com os dados):
I_{H,n}=\frac{S_{n}}{V_{H}}=\frac{230000}{2300}=100\\ \mathrm{A}, \qquad I_{L,n}=\frac{S_{n}}{V_{L}}=\frac{230000}{230}=1000\\ \mathrm{A}.
  • Correntes à meia carga:
I_{H}=0{,}5\,I_{H,n}=50\\ \mathrm{A}, \qquad I_{L}=0{,}5\,I_{L,n}=500\\ \mathrm{A}.
Explicação rápida: a corrente do enrolamento é proporcional à potência aparente dividida pela tensão. Meia carga significa metade da potência aparente, logo metade da corrente nominal.

Passo 3

Vou calcular as perdas ôhmicas (perdas em cobre). Há perdas em ambos os enrolamentos: P_{cu,H}=R_{H}\,|I_{H,\text{total}}|^{2} e P_{cu,L}=R_{L}\,|I_{L}|^{2}. Atenção: como a ramificação de magnetização está no lado alto, a corrente no enrolamento alto é a soma fasorial da corrente de carga referida ao alto mais a corrente de magnetização. Isso aumenta ligeiramente as perdas no enrolamento alto; vou calcular isso explicitamente.
  • Primeiro, corrente do ramo de perdas e do ramo magnetizante (no lado alto) em módulo e fase:
    • Componente de perda (em fase com a tensão) no ramo R_{cH}:
    I_{c}=\frac{V_{H}}{R_{cH}}=\frac{2300}{2000}=1{,}15\\ \mathrm{A}.
    • Componente magnetizante (reativa, defasada de -90^\circ em relação à tensão):
    I_{m}=\frac{V_{H}}{X_{mH}}=\frac{2300}{1800}\approx 1{,}2778\\ \mathrm{A}.
    • Logo a corrente do ramo de magnetização (fasor) é
    I_{0}=I_{c}-jI_{m}=1{,}15 - j\,1{,}2778\\ \mathrm{A}.(Aqui usamos a convenção de que a componente reativa do magnetismo é negativa no eixo imaginário por ser defasada em relação à tensão.)
  • A corrente de carga referida ao lado alto é I_{H,\text{carga}}=50\\ \mathrm{A} em fase com a tensão (pf=1), ou seja 50 + j0.
  • Corrente total no enrolamento alto (soma fasorial): I_{H,\text{total}} = 50 + (1{,}15 - j\,1{,}2778) = 51{,}15 - j\,1{,}2778\\ \mathrm{A}.
  • Módulo ao quadrado dessa corrente: |I_{H,\text{total}}|^{2} = (51{,}15)^{2} + (1{,}2778)^{2}\approx 2617{,}9555\\ \mathrm{A}^{2}.
  • Perda ôhmica no enrolamento alto: P_{cu,H}=R_{H}\,|I_{H,\text{total}}|^{2}=1{,}2\times 2617{,}9555\approx 3141{,}55\\ \mathrm{W}.
  • Perda ôhmica no enrolamento baixo (não recebe corrente de magnetização diretamente): P_{cu,L}=R_{L}\,I_{L}^{2}=0{,}012\times(500)^{2}=0{,}012\times 250000=3000\\ \mathrm{W}.
  • Perdas ôhmicas totais: P_{cu}=P_{cu,H}+P_{cu,L}\approx 3141{,}55+3000=6141{,}55\\ \mathrm{W}.
Comentário didático: se desprezássemos a corrente de magnetização, teríamos P_{cu,H}=1{,}2\times 50^{2}=3000\\ \mathrm{W}; mas incluir I_{0} aumenta ligeiramente essa perda (a diferença é pequena porque I_{0}\ll I_{H}).

Passo 4

Agora calculo a perda no núcleo (perdas em ferro) representada por R_{cH}. Essa perda é aproximadamente constante para tensão nominal e é dada por P_{core}=V_{H}^{2}/R_{cH} (ou V_{H}\,I_{c}, ambas equivalentes).
P_{core}=\frac{V_{H}^{2}}{R_{cH}}=\frac{2300^{2}}{2000}=\frac{5\,290\,000}{2000}=2645\\ \mathrm{W}.
Explicação: a resistência R_{cH} representa as perdas de histerese e correntes parasitas no núcleo; como a tensão está na nominal, usa-se V^{2}/R.

Passo 5

Somando todas as perdas e calculando a eficiência.
  • Perdas totais:
P_{loss}=P_{cu}+P_{core}\approx 6141{,}55 + 2645 = 8786{,}55\\ \mathrm{W}.
  • Potência de saída já calculada:
P_{out}=115000\\ \mathrm{W}.
  • Eficiência:
\eta=\frac{P_{out}}{P_{out}+P_{loss}}=\frac{115000}{115000+8786{,}55}=\frac{115000}{123786{,}55}\approx 0{,}92909.
Convertendo em porcentagem:
\eta \approx 92{,}91\%.
Pequena observação final: arredondamentos mínimos foram feitos; o resultado difere muito pouco se desprezarmos a contribuição da corrente de magnetização nas perdas ôhmicas.

Resposta

\eta \approx 92{,}91\%

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