1. (2,5) Os seguintes dados foram obtidos para um transformador de distribuição de 50 \mathrm{kVA}, 60 \mathrm{~Hz} e 2400: 240 \mathrm{~V} em um ensaio a 60 Hz :
Com os terminais de baixa tensão em curto-circuito: 67 \mathrm{~V}, 20,83 \mathrm{~A} e 520 W
a) Calcule a impedância equivalente em série e em paralelo, a resistência e a reatância do

Passo 1

O enunciado dá um ensaio de curto-circuito (com os terminais de baixa tensão em curto) feito a 60\\ \text{Hz} com as medições:
  • Tensão aplicada (no enrolamento onde o ensaio foi feito): V_{sc}=67\\ \text{V}.
  • Corrente de curto-circuito: I_{sc}=20,83\\ \text{A}.
  • Potência medida em curto-circuito (perdas no enrolamento equivalente): P_{sc}=520\\ \text{W}.
O que se pede (parte a):
  • Calcular a impedância equivalente em série (magnitudes e forma retangular/polar).
  • Calcular a resistência e a reatância equivalentes (da forma série).
  • Calcular a representação equivalente em paralelo (valores de R_p e X_p, ou seja, a resistência e reatância em paralelo que dão a mesma impedância).
Observação prática que vamos usar sem perguntar: os valores obtidos são referentes ao lado onde a tensão V_{sc} foi aplicada (ou seja, impedância referida a esse enrolamento).

Passo 2

Lembrete das fórmulas básicas (aulas rápidas, sem pular passos):
  • Lei de Ohm para fasores: a impedância equivalente em série \,Z_{eq}\, tem módulo dado por
Z_{eq}=\frac{V_{sc}}{I_{sc}}.
Aqui \,V_{sc}\, é a tensão eficaz aplicada e \,I_{sc}\, a corrente eficaz resultante.
  • A potência medida em curto-circuito P_{sc} (potência ativa) corresponde à parte resistiva das perdas no enrolamento equivalente. Para um circuito trifásico/unifásico em representação equivalente, usamos a relação (no domínio fasorial)
P_{sc}=I_{sc}^{2}\,R_{eq},
logo
R_{eq}=\frac{P_{sc}}{I_{sc}^{2}}.
  • Tendo Z_{eq} e R_{eq} (ambos positivos), a reatância série X_{eq} é obtida por Pitágoras no triângulo de impedâncias:
X_{eq}=\sqrt{Z_{eq}^{2}-R_{eq}^{2}}.
  • Conversão série → paralelo: se \,Z_{eq}=R_{s}+jX_{s}\, então a admitância Y=1/Z vale
Y=G-jB,
com
G=\frac{R_{s}}{R_{s}^{2}+X_{s}^{2}},\qquad B=\frac{X_{s}}{R_{s}^{2}+X_{s}^{2}}\\ (\text{atenção ao sinal para sinalização da reatância}).çãçãâ
A resistência equivalente em paralelo (magnitude) e a reatância equivalente em paralelo (magnitude) podem ser obtidas diretamente por
R_{p}=\frac{R_{s}^{2}+X_{s}^{2}}{R_{s}},\qquad X_{p}=\frac{R_{s}^{2}+X_{s}^{2}}{X_{s}}.
(esses R_{p} e X_{p} são valores positivos; a susceptância B será negativa se X_{s}>0 indicando comportamento indutivo).

Passo 3

Calcular a impedância equivalente em módulo:
Z_{eq}=\frac{V_{sc}}{I_{sc}}=\frac{67}{20,83}.
Faço a divisão em etapas:
Z_{eq}=\frac{67}{20,83}\approx 3,21658\\ \Omega.
Arredondando razoavelmente:
Z_{eq}\approx 3,217\\ \Omega.

Passo 4

Calcular a resistência equivalente usando R_{eq}=P_{sc}/I_{sc}^{2}.
Primeiro calcule I_{sc}^{2}:
I_{sc}^{2}=(20,83)^{2}=433,8889\\ \text{(A)}^{2}.
Agora
R_{eq}=\frac{520}{433,8889}\approx 1,19845\\ \Omega.
Arredondando:
R_{eq}\approx 1,199\\ \Omega.

Passo 5

Calcular a reatância série por Pitágoras:
X_{eq}=\sqrt{Z_{eq}^{2}-R_{eq}^{2}}.
Substituindo os números (uso os valores mais precisos mantidos nos cálculos):
Z_{eq}^{2}\approx (3,21658)^{2}\approx 10,3459,
R_{eq}^{2}\approx (1,19845)^{2}\approx 1,4363,
X_{eq}=\sqrt{10,3459-1,4363}=\sqrt{8,9096}\approx 2,9866\\ \Omega.
Arredondando:
X_{eq}\approx 2,987\\ \Omega.
Também é útil dar Z_{eq} em forma retangular e polar:
  • Forma retangular:
Z_{eq}=R_{eq}+jX_{eq}\approx 1,199 + j\,2,987\\ \Omega.
  • Forma polar: ângulo \varphi=\arctan\!\left(\dfrac{X_{eq}}{R_{eq}}\right):
\varphi=\arctan\!\left(\frac{2,9866}{1,19845}\right)\approx \arctan(2,4926)\approx 68,9^\circ.
Logo
Z_{eq}\approx 3,217\\ \Omega\angle 68,9^\circ.

Passo 6

Converter para o equivalente em paralelo. Usa-se as fórmulas:
R_{p}=\frac{R_{s}^{2}+X_{s}^{2}}{R_{s}}=\frac{Z_{eq}^{2}}{R_{eq}}, \qquad X_{p}=\frac{R_{s}^{2}+X_{s}^{2}}{X_{s}}=\frac{Z_{eq}^{2}}{X_{eq}}.
Já calculamos Z_{eq}^{2}\approx 10,3459. Então
R_{p}=\frac{10,3459}{1,19845}\approx 8,6316\\ \Omega,
X_{p}=\frac{10,3459}{2,9866}\approx 3,4640\\ \Omega.
Arredondando:
R_{p}\approx 8,632\\ \Omega,\qquad X_{p}\approx 3,464\\ \Omega.
Se preferir também a admitância (útil para ver a componente condutiva e susceptiva):
G=\frac{1}{R_{p}}\approx 0,1159\\ \text{S},\qquad B=-\frac{1}{X_{p}}\approx -0,2886\\ \text{S},
onde o sinal negativo em B indica susceptância indutiva (como esperado).

Passo 7

Resumo final dos valores (conferência rápida do sentido físico):
  • A parte resistiva é pequena em relação à reativa (perdas são pequenas comparadas à reatância de curto-circuito).
  • Os números acima são referentes ao lado em que V_{sc} foi aplicado (impedância referida a esse enrolamento).

Resposta

Z_{eq}\approx 3,217\\ \Omega\angle 68,9^\circ
Z_{eq}\approx 1,199 + j\,2,987\\ \Omega
R_{eq}\approx 1,199\\ \Omega
X_{eq}\approx 2,987\\ \Omega
R_{p}\approx 8,632\\ \Omega
X_{p}\approx 3,464\\ \Omega

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