Um transformador trifásico liga um sistema de distribuição em a um sistema industrial em . O transformador tem potencia nominal de e os seguintes parâmetros:
O transformador opera em regime permanente alimentando o sistema industrial com fator de potência FP = 0.8 indutivo e com uma tensão igual à nominal do transformador.
Considerando que no secundário do transformador, a tensão medida é de 440 V, determine a tensão aplicada no primário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre transformadores trifásicos, que é um assunto de eletricidade e circuitos elétricos. O problema nos dá informações sobre um transformador que conecta uma rede de distribuição de 13,8 kV a um sistema industrial de 440 V, com potência nominal de 250 kVA e alguns parâmetros como resistências e reatâncias. Nosso objetivo é descobrir qual é a tensão aplicada no primário, sabendo que a tensão medida no secundário é de 440 V e que o sistema está operando com um fator de potência de 0,8 indutivo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transformadores, impedâncias e fator de potência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que significa cada parâmetro dado:
Rₚ = 3 Ω: resistência do primário
Rₛ = 0,003 Ω: resistência do secundário
x_d p = 30 Ω: reatância de dispersão do primário
x_d s = 0,03 Ω: reatância de dispersão do secundário
R_m = 90 kΩ: resistência magnética
Como estamos tratando de um transformador, é importante lembrar que podemos representar o secundário refletido no primário para facilitar os cálculos. Isso significa converter as impedâncias do secundário para o primário usando a relação de transformação do transformador.
A relação de transformação (k) é dada por:
k = VpVs
Onde:
$ V_p $ é a tensão no primário
$ V_s $ é a tensão no secundário
Vamos calcular essa relação.
Passo 3
Calculando a relação de transformação $ k $:
k
Esse valor nos ajuda a refletir as impedâncias do secundário para o primário. Para refletir as impedâncias, usamos:
k = 13.8 , kV440 , V = 13800 , V440 , V = 31.364
Onde $ Z’_s $ é a impedância refletida no primário e $ Z_s $ é a impedância no secundário.
Vamos calcular as impedâncias refletidas para resistência e reatância.
Passo 4
Calculando as impedâncias refletidas:
Para a resistência do secundário $ R_s = 0,003 , \Omega $:
Rs = 0,003 , Omega
Para a reatância do secundário $ x_{ds} = 0,03 , \Omega $:
R's = 0,003 times (31.364)^2 = 0,003 times 983.64 approx 2,951 , Omega
Agora, somamos as impedâncias do primário com as impedâncias refletidas do secundário para obter a impedância total vista no primário.
Impédância total no primário $ Z_{total} $:
xds = 0,03 , Omega
Passo 5
Agora, precisamos calcular a corrente no secundário. Sabemos que a tensão no secundário é de 440 V e o fator de potência é 0,8 indutivo. A potência aparente $ S $ é de 250 kVA.
A corrente no secundário $ I_s $ é dada por:
S
Como o fator de potência é 0,8 indutivo, o ângulo de fase $ \phi $ é:
Is
Então, a corrente no secundário em forma fasorial é:
Is = Sraiz3 times Vs = 250 times 10^3raiz3 times 440 approx 250000761.58 approx 328.29 , A
O sinal negativo indica que a corrente está atrasada em relação à tensão, típico de cargas indutivas.
Passo 6
Agora, vamos refletir essa corrente para o primário usando a relação de transformação $ k $:
k
A corrente no primário é, portanto, aproximadamente 10,46 A com o mesmo ângulo de fase de -36,87°.
Passo 7
Com a corrente do primário conhecida e a impedância total no primário calculada anteriormente, podemos encontrar a queda de tensão no primário $ V_{queda} $:
Vqueda
Para simplificar, vamos calcular a magnitude dessa queda de tensão:
Primeiro, calculamos a magnitude da impedância total:
Vqueda = Ip times Ztotal = 10,46 ang<= -36,87^circ times (5,951 + j59,51)
Finalmente, para encontrar a tensão aplicada no primário $ V_p $, somamos a queda de tensão $ V_{queda} $ à tensão no secundário refletida no primário $ V’_s $. No entanto, como a tensão no secundário já está dada como 440 V medida, precisamos considerar que a tensão no primário é maior devido à queda interna.
Portanto:
Vp
Convertendo para kV:
Vqueda
Resposta
A tensão aplicada no primário é aproximadamente 14,4 kV.