Transformar na matriz unidade (identidade) as matrizes dadas.
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}\mathbf{3} & \mathbf{5} \\\ \mathbf{1} & \mathbf{2}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede usar eliminação de Gauss–Jordan para transformar \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}3 & 5\\\ 1 & 2\end{pmatrix}
na matriz identidade I, aplicando simultaneamente as mesmas operações na matriz I para obter \boldsymbol{A}^{-1}.

Passo 2

Montar a matriz aumentada (\boldsymbol{A}\mid I):
\left[\begin{array}{cc|cc} 3 & 5 & 1 & 0\\\\ 1 & 2 & 0 & 1 \end{array}\right]

Passo 3

Trocar R_{1}\leftrightarrow R_{2} para ter pivô 1 na primeira linha:
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 0 & 1\\\\ 3 & 5 & 1 & 0 \end{array}\right]

Passo 4

Zerar o elemento abaixo do pivô com R_{2}\leftarrow R_{2}-3\,R_{1}:
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 0 & 1\\\\ 0 & -1 & 1 & -3 \end{array}\right]

Passo 5

Escalonar o pivô da segunda linha para 1 multiplicando R_{2} por -1:
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & -1 & 3 \end{array}\right]

Passo 6

Zerar o elemento acima do segundo pivô com R_{1}\leftarrow R_{1}-2\,R_{2}:
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 2 & -5\\\\ 0 & 1 & -1 & 3 \end{array}\right]

Resposta

Como o bloco esquerdo virou I, o bloco direito é a inversa de \boldsymbol{A}:
\boldsymbol{A}^{-1} = \begin{pmatrix}2 & -5\\[6pt]-1 & 3\end{pmatrix}.]

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