Transformar na matriz unidade (identidade) as matrizes dadas.
A=\left[ \begin{array}{rrr}-3 & 4 & -5 \\ 0 & -1 & 2 \\ 3 & -5 & 4\end{array}\right]

Passo 1

Temos a matriz
A = \begin{pmatrix} -3 & 4 & -5\\\\ 0 & -1 & 2\\\\ 3 & -5 & 4 \end{pmatrix}
e queremos, por meio da eliminação de Gauss–Jordan, transformá-la na matriz identidade. Para isso, montamos a matriz aumentada \bigl[A\mid I\bigr] e aplicamos operações elementares nas linhas, cujo resultado final será
\bigl[I\mid A^{-1}\bigr].

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} -3 & 4 & -5 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 2 & 0 & 1 & 0\\\\ 3 & -5 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]

Passo 3

Tornamos o pivô da primeira linha igual a 1 dividindo a linha 1 por -3:
R_1 \leftarrow -\tfrac13\,R_1
resultando em
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -\tfrac{4}{3} & \tfrac{5}{3} & -\tfrac{1}{3} & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 2 & 0 & 1 & 0\\\\ 3 & -5 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]

Passo 4

Anulamos o elemento abaixo do pivô na coluna 1:
R_3 \leftarrow R_3 - 3\,R_1
ficando
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -\tfrac{4}{3} & \tfrac{5}{3} & -\tfrac{1}{3} & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 2 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & -1 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right]

Passo 5

Tornamos o pivô da segunda linha igual a 1 multiplicando a linha 2 por -1:
R_2 \leftarrow -R_2
obtendo
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -\tfrac{4}{3} & \tfrac{5}{3} & -\tfrac{1}{3} & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & -2 & 0 & -1 & 0\\\\ 0 & -1 & -1 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right]

Passo 6

Anulamos os demais elementos da coluna 2 usando a nova linha 2:
\begin{cases} R_1 \leftarrow R_1 + \tfrac{4}{3}\,R_2,\\\ R_3 \leftarrow R_3 + R_2. \end{cases}
Isso leva a
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{4}{3} & 0\\\\ 0 & 1 & -2 & 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & -3 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right]

Passo 7

Tornamos o pivô da terceira linha igual a 1 dividindo a linha 3 por -3:
R_3 \leftarrow -\tfrac13\,R_3
e obtemos
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{4}{3} & 0\\\\ 0 & 1 & -2 & 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3} \end{array}\right]

Passo 8

Anulamos os elementos acima do pivô na coluna 3:
\begin{cases} R_1 \leftarrow R_1 + R_3,\\\ R_2 \leftarrow R_2 + 2\,R_3. \end{cases}
Assim chegamos à forma
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{2}{3} & -1 & -\tfrac{1}{3}\\\\ 0 & 1 & 0 & -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3}\\\\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3} \end{array}\right]

Resposta

O inverso de A é
A^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac{2}{3} & -1 & -\tfrac{1}{3}\\[6pt] -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3}\\[6pt] -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.]

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