Transformar as matrizes a seguir em matriz triangular superior:
A=\left[\begin{array}{rrrr}1 & -4 & 3 & 2 \\\\ -3 & 10 & -8 & -3 \\\\ -4 & 15 & -10 & -7 \\\\ 5 & -12 & 5 & 1\end{array}\right]
B=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & -4 & 0 & -8 \\\\ -3 & -15 & 3 & 20 \\\\ 4 & -2 & 9 & 0 \\\\ 5 & -1 & 2 & -3 \end{array}\right] \quad C=\left[\begin{array}{rrrr} -3 & 4 & 2 & 8 \\\\ 0 & 1 & -3 & -6 \\\\ -6 & 4 & 9 & 4 \\\\ 9 & -9 & -8 & 6 \end{array}\right] \quad D=\left[\begin{array}{rrrr} 2 & -3 & 2 & 7 \\\\ 0 & 1 & -3 & -6 \\\\ 4 & 4 & 9 & 4 \\\\ 8 & -9 & -8 & 6 \end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações dadas.
  • O enunciado pede: transformar em matriz triangular superior as quatro matrizes A, B, C e D fornecidas (usar operações elementares por linhas).
  • As matrizes dadas são:
A=\begin{pmatrix} 1 & -4 & 3 & 2 \\\\ -3 & 10 & -8 & -3 \\\\ -4 & 15 & -10 & -7 \\\\ 5 & -12 & 5 & 1 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 1 & -4 & 0 & -8 \\\\ -3 & -15 & 3 & 20 \\\\ 4 & -2 & 9 & 0 \\\\ 5 & -1 & 2 & -3 \end{pmatrix},
C=\begin{pmatrix} -3 & 4 & 2 & 8 \\\\ 0 & 1 & -3 & -6 \\\\ -6 & 4 & 9 & 4 \\\\ 9 & -9 & -8 & 6 \end{pmatrix}, \quad D=\begin{pmatrix} 2 & -3 & 2 & 7 \\\\ 0 & 1 & -3 & -6 \\\\ 4 & 4 & 9 & 4 \\\\ 8 & -9 & -8 & 6 \end{pmatrix}.

Passo 2

Breve explicação sobre as operações que vou usar (ou seja, a “ferramenta” da resolução).
  • Operações elementares por linhas permitidas (mantêm a equivalência por linhas):
    1. trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j;
    2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo: R_i \leftarrow \lambda R_i;
    3. adicionar a uma linha um múltiplo de outra: R_i \leftarrow R_i + k\,R_j.
  • Objetivo: usar essas operações para anular os elementos abaixo da diagonal principal, coluna por coluna (eliminação de Gauss), até obter uma matriz triangular superior.
  • Vou mostrar, passo a passo, as operações que faço em cada matriz e o resultado após cada etapa. Vamos devagar — dá pra fazer na prova à mão.

Passo 3

Matriz A: primeira etapa (zerar abaixo de a_{11}).
  • Matriz inicial:
A=\begin{pmatrix} 1 & -4 & 3 & 2 \\\\ -3 & 10 & -8 & -3 \\\\ -4 & 15 & -10 & -7 \\\\ 5 & -12 & 5 & 1 \end{pmatrix}.
  • O pivô inicial é a_{11}=1. Para zerar as entradas da coluna 1 abaixo do pivô:
    • R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1 (porque -3+3\cdot1=0),
    • R_3 \leftarrow R_3 + 4R_1 (porque -4+4\cdot1=0),
    • R_4 \leftarrow R_4 - 5R_1 (porque 5-5\cdot1=0).
  • Cálculo linha a linha:
    • R_2 = (-3,10,-8,-3)+3(1,-4,3,2)=(0,-2,1,3).
    • R_3 = (-4,15,-10,-7)+4(1,-4,3,2)=(0,-1,2,1).
    • R_4 = (5,-12,5,1)-5(1,-4,3,2)=(0,8,-10,-9).
  • Resultado após esta etapa:
\begin{pmatrix} 1 & -4 & 3 & 2 \\\\ 0 & -2 & 1 & 3 \\\\ 0 & -1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 8 & -10 & -9 \end{pmatrix}.

Passo 4

Matriz A: segunda etapa (zerar abaixo de a_{22}).
  • Pivô na segunda coluna é agora a_{22}=-2 (linha 2). Para zerar as entradas abaixo:
    • Para R_3: coeficiente m_{32}=\dfrac{-1}{-2}=\dfrac12. Então R_3 \leftarrow R_3 - \dfrac12 R_2.
    • Para R_4: coeficiente m_{42}=\dfrac{8}{-2}=-4. Então R_4 \leftarrow R_4 +4R_2.
  • Cálculos:
    • R_3 = (0,-1,2,1)-\dfrac12(0,-2,1,3)=(0,0,\tfrac32,-\tfrac12).
    • R_4 = (0,8,-10,-9)+4(0,-2,1,3)=(0,0,-6,3).
  • Matriz resultante:
\begin{pmatrix} 1 & -4 & 3 & 2 \\\\ 0 & -2 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & \tfrac32 & -\tfrac12 \\\\ 0 & 0 & -6 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 5

Matriz A: terceira etapa (zerar abaixo de a_{33}) e finalizar triangularização.
  • Pivô a_{33}=\tfrac32. Para zerar a_{43}=-6 usamos coeficiente \dfrac{-6}{\tfrac32}=-4.
  • Operação: R_4 \leftarrow R_4 +4R_3.
  • Cálculo: R_4=(0,0,-6,3)+4(0,0,\tfrac32,-\tfrac12)=(0,0,0,1).
  • Matriz triangular superior final para A:
A_{\text{tri}}=\begin{pmatrix} 1 & -4 & 3 & 2 \\\\ 0 & -2 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & \tfrac32 & -\tfrac12 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 6

Matriz B: primeira etapa (zerar abaixo de b_{11}).
  • Matriz inicial:
B=\begin{pmatrix} 1 & -4 & 0 & -8 \\\\ -3 & -15 & 3 & 20 \\\\ 4 & -2 & 9 & 0 \\\\ 5 & -1 & 2 & -3 \end{pmatrix}.
  • Pivô b_{11}=1. Zeramos coluna 1 abaixo:
    • R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1,
    • R_3 \leftarrow R_3 - 4R_1,
    • R_4 \leftarrow R_4 - 5R_1.
  • Resultados:
    • R_2 = (0,-27,3,-4).
    • R_3 = (0,14,9,32).
    • R_4 = (0,19,2,37).
  • Matriz após etapa:
\begin{pmatrix} 1 & -4 & 0 & -8 \\\\ 0 & -27 & 3 & -4 \\\\ 0 & 14 & 9 & 32 \\\\ 0 & 19 & 2 & 37 \end{pmatrix}.

Passo 7

Matriz B: manipulação para facilitar o pivô na segunda coluna (reduzir números).
  • Para evitar enormes frações, faço combinações de linhas que preservam a equivalência por linhas:
    • R_3 \leftarrow R_3 + R_2 (soma de linhas): R_3=(0,14,9,32)+(0,-27,3,-4)=(0,-13,12,28).
    • R_4 \leftarrow R_4 + R_2: R_4=(0,19,2,37)+(0,-27,3,-4)=(0,-8,5,33).
  • Agora a submatriz das linhas 2–4, coluna 2 tem entradas -27,-13,-8. Vou trocar R_2 com R_4 para usar o pivô -8 (menor em valor absoluto), o que torna os cálculos um pouco mais fáceis:
    • R_2 \leftrightarrow R_4.
  • Matriz após estas operações:
\begin{pmatrix} 1 & -4 & 0 & -8 \\\\ 0 & -8 & 5 & 33 \\\\ 0 & -13 & 12 & 28 \\\\ 0 & -27 & 3 & -4 \end{pmatrix}.

Passo 8

Matriz B: segunda etapa (zerar abaixo do novo pivô b_{22}=-8).
  • Pivô b_{22}=-8 em R_2. Para zerar as entradas nas linhas 3 e 4:
    • Multiplicadores:
      • para R_3: m_{32}=\dfrac{-13}{-8}=\dfrac{13}{8}, então R_3 \leftarrow R_3 - \dfrac{13}{8}R_2.
      • para R_4: m_{42}=\dfrac{-27}{-8}=\dfrac{27}{8}, então R_4 \leftarrow R_4 - \dfrac{27}{8}R_2.
  • Cálculos (frações aparecem, vou manter exatos):
    • R_3 = (0,-13,12,28)-\dfrac{13}{8}(0,-8,5,33)=(0,0,\tfrac{31}{8},-\tfrac{205}{8}).
    • R_4 = (0,-27,3,-4)-\dfrac{27}{8}(0,-8,5,33)=(0,0,-\tfrac{111}{8},-\tfrac{923}{8}).
  • Matriz após esta etapa:
\begin{pmatrix} 1 & -4 & 0 & -8 \\\\ 0 & -8 & 5 & 33 \\\\ 0 & 0 & \tfrac{31}{8} & -\tfrac{205}{8} \\\\ 0 & 0 & -\tfrac{111}{8} & -\tfrac{923}{8} \end{pmatrix}.

Passo 9

Matriz B: terceira etapa (zerar abaixo de b_{33}) e finalizar triangularização.
  • Pivô b_{33}=\tfrac{31}{8}. Para zerar b_{43}=-\tfrac{111}{8}:
    • Multiplicador m_{43}=\dfrac{-\tfrac{111}{8}}{\tfrac{31}{8}}=-\dfrac{111}{31}.
    • Operação: R_4 \leftarrow R_4 - m_{43} R_3 = R_4 + \dfrac{111}{31} R_3.
  • Cálculo do elemento (4,4):
    • R_4^{(4)} = -\dfrac{923}{8} + \dfrac{111}{31}\cdot\left(-\dfrac{205}{8}\right).
    • Pondo em denominador comum 8\cdot 31: R_4^{(4)} = \frac{-923\cdot 31 -111\cdot 205}{8\cdot 31} = \frac{-28613 -22755}{248} = \frac{-51368}{248} = -\frac{6421}{31}.
    • O elemento (4,3) fica zero por construção.
  • Matriz triangular superior final para B:
B_{\text{tri}}=\begin{pmatrix} 1 & -4 & 0 & -8 \\\\ 0 & -8 & 5 & 33 \\\\ 0 & 0 & \tfrac{31}{8} & -\tfrac{205}{8} \\\\ 0 & 0 & 0 & -\dfrac{6421}{31} \end{pmatrix}.

Passo 10

Matriz C: primeira etapa (zerar abaixo de c_{11}).
  • Matriz inicial:
C=\begin{pmatrix} -3 & 4 & 2 & 8 \\\\ 0 & 1 & -3 & -6 \\\\ -6 & 4 & 9 & 4 \\\\ 9 & -9 & -8 & 6 \end{pmatrix}.
  • Pivô c_{11}=-3. Para zerar entradas abaixo:
    • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1 (porque -6 -2(-3)=0),
    • R_4 \leftarrow R_4 + 3R_1 (porque 9 +3(-3)=0).
  • Cálculos:
    • R_3 = (-6,4,9,4)-2(-3,4,2,8) = (0,-4,5,-12).
    • R_4 = (9,-9,-8,6)+3(-3,4,2,8) = (0,3,-2,30).
  • Matriz após esta etapa:
\begin{pmatrix} -3 & 4 & 2 & 8 \\\\ 0 & 1 & -3 & -6 \\\\ 0 & -4 & 5 & -12 \\\\ 0 & 3 & -2 & 30 \end{pmatrix}.

Passo 11

Matriz C: segunda etapa (usar o pivô c_{22}=1).
  • Pivô c_{22}=1 (linha 2). Eliminar abaixo:
    • R_3 \leftarrow R_3 + 4R_2 (pois -4 +4\cdot1 = 0),
    • R_4 \leftarrow R_4 - 3R_2 (pois 3 -3\cdot1 = 0).
  • Cálculos:
    • R_3 = (0,-4,5,-12)+4(0,1,-3,-6)=(0,0,-7,-36).
    • R_4 = (0,3,-2,30)-3(0,1,-3,-6)=(0,0,7,48).
  • Matriz após esta etapa:
\begin{pmatrix} -3 & 4 & 2 & 8 \\\\ 0 & 1 & -3 & -6 \\\\ 0 & 0 & -7 & -36 \\\\ 0 & 0 & 7 & 48 \end{pmatrix}.

Passo 12

Matriz C: terceira etapa (zerar abaixo de c_{33}) e finalizar triangularização.
  • Pivô c_{33}=-7. Para zerar c_{43}=7, observe que 7/(-7)=-1 então:
    • R_4 \leftarrow R_4 + R_3.
  • Cálculo: R_4 = (0,0,7,48)+(0,0,-7,-36)=(0,0,0,12).
  • Matriz triangular superior final para C:
C_{\text{tri}}=\begin{pmatrix} -3 & 4 & 2 & 8 \\\\ 0 & 1 & -3 & -6 \\\\ 0 & 0 & -7 & -36 \\\\ 0 & 0 & 0 & 12 \end{pmatrix}.

Passo 13

Matriz D: primeira etapa (zerar abaixo de d_{11}).
  • Matriz inicial:
D=\begin{pmatrix} 2 & -3 & 2 & 7 \\\\ 0 & 1 & -3 & -6 \\\\ 4 & 4 & 9 & 4 \\\\ 8 & -9 & -8 & 6 \end{pmatrix}.
  • Pivô d_{11}=2. Zeramos coluna 1 abaixo:
    • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1,
    • R_4 \leftarrow R_4 - 4R_1.
  • Cálculos:
    • R_3 = (4,4,9,4)-2(2,-3,2,7)=(0,10,5,-10).
    • R_4 = (8,-9,-8,6)-4(2,-3,2,7)=(0,3,-16,-22).
  • Matriz após esta etapa:
\begin{pmatrix} 2 & -3 & 2 & 7 \\\\ 0 & 1 & -3 & -6 \\\\ 0 & 10 & 5 & -10 \\\\ 0 & 3 & -16 & -22 \end{pmatrix}.

Passo 14

Matriz D: segunda etapa (usar pivô d_{22}=1).
  • Pivô d_{22}=1 (linha 2). Eliminar abaixo:
    • R_3 \leftarrow R_3 - 10R_2,
    • R_4 \leftarrow R_4 - 3R_2.
  • Cálculos:
    • R_3 = (0,10,5,-10)-10(0,1,-3,-6)=(0,0,35,50).
    • R_4 = (0,3,-16,-22)-3(0,1,-3,-6)=(0,0,-7,-4).
  • Matriz após esta etapa:
\begin{pmatrix} 2 & -3 & 2 & 7 \\\\ 0 & 1 & -3 & -6 \\\\ 0 & 0 & 35 & 50 \\\\ 0 & 0 & -7 & -4 \end{pmatrix}.

Passo 15

Matriz D: terceira etapa (zerar abaixo de d_{33}) e finalizar triangularização.
  • Pivô d_{33}=35. Para zerar d_{43}=-7, multiplicador m_{43}=\dfrac{-7}{35}=-\dfrac15.
    • Operação: R_4 \leftarrow R_4 - m_{43}R_3 = R_4 + \tfrac15 R_3.
  • Cálculo: \tfrac15 R_3 = (0,0,7,10). Então
    • R_4 = (0,0,-7,-4)+(0,0,7,10)=(0,0,0,6).
  • Matriz triangular superior final para D:
D_{\text{tri}}=\begin{pmatrix} 2 & -3 & 2 & 7 \\\\ 0 & 1 & -3 & -6 \\\\ 0 & 0 & 35 & 50 \\\\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}.

Resposta

A_{\text{tri}}=\begin{pmatrix} 1 & -4 & 3 & 2 \\\\ 0 & -2 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & \tfrac32 & -\tfrac12 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
B_{\text{tri}}=\begin{pmatrix} 1 & -4 & 0 & -8 \\\\ 0 & -8 & 5 & 33 \\\\ 0 & 0 & \tfrac{31}{8} & -\tfrac{205}{8} \\\\ 0 & 0 & 0 & -\dfrac{6421}{31} \end{pmatrix}
C_{\text{tri}}=\begin{pmatrix} -3 & 4 & 2 & 8 \\\\ 0 & 1 & -3 & -6 \\\\ 0 & 0 & -7 & -36 \\\\ 0 & 0 & 0 & 12 \end{pmatrix}
D_{\text{tri}}=\begin{pmatrix} 2 & -3 & 2 & 7 \\\\ 0 & 1 & -3 & -6 \\\\ 0 & 0 & 35 & 50 \\\\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}

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