Transformar as matrizes a seguir em matriz triangular superior:
Passo 1
O que o enunciado pede e as informações dadas.
- O enunciado pede: transformar em matriz triangular superior as quatro matrizes
, , e fornecidas (usar operações elementares por linhas). - As matrizes dadas são:
Passo 2
Breve explicação sobre as operações que vou usar (ou seja, a “ferramenta” da resolução).
- Operações elementares por linhas permitidas (mantêm a equivalência por linhas):
- trocar duas linhas:
; - multiplicar uma linha por um escalar não nulo:
; - adicionar a uma linha um múltiplo de outra:
.
- trocar duas linhas:
- Objetivo: usar essas operações para anular os elementos abaixo da diagonal principal, coluna por coluna (eliminação de Gauss), até obter uma matriz triangular superior.
- Vou mostrar, passo a passo, as operações que faço em cada matriz e o resultado após cada etapa. Vamos devagar — dá pra fazer na prova à mão.
Passo 3
Matriz
: primeira etapa (zerar abaixo de
).
- Matriz inicial:
- O pivô inicial é
. Para zerar as entradas da coluna 1 abaixo do pivô:-
(porque ), -
(porque ), -
(porque ).
-
- Cálculo linha a linha:
-
. -
. -
.
-
- Resultado após esta etapa:
Passo 4
Matriz
: segunda etapa (zerar abaixo de
).
- Pivô na segunda coluna é agora
(linha 2). Para zerar as entradas abaixo:- Para
: coeficiente . Então . - Para
: coeficiente . Então .
- Para
- Cálculos:
-
. -
.
-
- Matriz resultante:
Passo 5
Matriz
: terceira etapa (zerar abaixo de
) e finalizar triangularização.
- Pivô
. Para zerar usamos coeficiente . - Operação:
. - Cálculo:
. - Matriz triangular superior final para
:
Passo 6
Matriz
: primeira etapa (zerar abaixo de
).
- Matriz inicial:
- Pivô
. Zeramos coluna 1 abaixo:-
, -
, -
.
-
- Resultados:
-
. -
. -
.
-
- Matriz após etapa:
Passo 7
Matriz
: manipulação para facilitar o pivô na segunda coluna (reduzir números).
- Para evitar enormes frações, faço combinações de linhas que preservam a equivalência por linhas:
-
(soma de linhas): . -
: .
-
- Agora a submatriz das linhas 2–4, coluna 2 tem entradas
. Vou trocar com para usar o pivô (menor em valor absoluto), o que torna os cálculos um pouco mais fáceis:-
.
-
- Matriz após estas operações:
Passo 8
Matriz
: segunda etapa (zerar abaixo do novo pivô
).
- Pivô
em . Para zerar as entradas nas linhas 3 e 4:- Multiplicadores:
- para
: , então . - para
: , então .
- para
- Multiplicadores:
- Cálculos (frações aparecem, vou manter exatos):
-
. -
.
-
- Matriz após esta etapa:
Passo 9
Matriz
: terceira etapa (zerar abaixo de
) e finalizar triangularização.
- Pivô
. Para zerar :- Multiplicador
. - Operação:
.
- Multiplicador
- Cálculo do elemento (4,4):
-
. - Pondo em denominador comum
: - O elemento (4,3) fica zero por construção.
-
- Matriz triangular superior final para
:
Passo 10
Matriz
: primeira etapa (zerar abaixo de
).
- Matriz inicial:
- Pivô
. Para zerar entradas abaixo:-
(porque ), -
(porque ).
-
- Cálculos:
-
. -
.
-
- Matriz após esta etapa:
Passo 11
Matriz
: segunda etapa (usar o pivô
).
- Pivô
(linha 2). Eliminar abaixo:-
(pois ), -
(pois ).
-
- Cálculos:
-
. -
.
-
- Matriz após esta etapa:
Passo 12
Matriz
: terceira etapa (zerar abaixo de
) e finalizar triangularização.
- Pivô
. Para zerar , observe que então:-
.
-
- Cálculo:
. - Matriz triangular superior final para
:
Passo 13
Matriz
: primeira etapa (zerar abaixo de
).
- Matriz inicial:
- Pivô
. Zeramos coluna 1 abaixo:-
, -
.
-
- Cálculos:
-
. -
.
-
- Matriz após esta etapa:
Passo 14
Matriz
: segunda etapa (usar pivô
).
- Pivô
(linha 2). Eliminar abaixo:-
, -
.
-
- Cálculos:
-
. -
.
-
- Matriz após esta etapa:
Passo 15
Matriz
: terceira etapa (zerar abaixo de
) e finalizar triangularização.
- Pivô
. Para zerar , multiplicador .- Operação:
.
- Operação:
- Cálculo:
. Então-
.
-
- Matriz triangular superior final para
: