Achar a equação da parábola de eixo paralelo a Ox e que passa pelos pontos (3,3),(6,5) e (6,-3).
Resolução de (7): como o eixo da parábola procurada é paralelo ao eixo x , então ela possui equação da forma \mathrm{x}=\mathrm{a} \mathrm{y}^{2}+\mathrm{by}+\mathrm{c}. Precisamos determinar \mathrm{a}, \mathrm{b} e \mathrm{c}.
Como os pontos \mathrm{A}(3,3), \mathrm{B}(6,5) e \mathrm{C}(6,-3) estão na parábola, suas coordenadas devem cumprir a equação procurada, ou seja,
Subraindo a terceira equação da primeira temos 6 \mathrm{~b}=-3, ou seja, \mathrm{b}=-\frac{1}{2}. Assim, podemos reescrever as duas primeiras equações:
Logo, \mathrm{c}=\frac{9}{2}-\frac{9}{4}=\frac{9}{4}.
Conclusão: a parábola procurada possui equação x=\frac{1}{4} y^{2}-\frac{1}{2} y+\frac{9}{4}.
Passo 1
O que o problema pede e o que nos foi dado.
Pede: encontrar a equação da parábola cujo eixo é paralelo ao eixo x e que passa pelos pontos (3,3), (6,5) e (6,-3).
Dados (os três pontos pertencem à parábola):
A:(3,3)
B:(6,5)
C:(6,-3)
O que precisamos determinar: os coeficientes desconhecidos da equação da parábola (três incógnitas).
Passo 2
Forma geral da parábola com eixo paralelo ao eixo x e interpretação das incógnitas.
Quando o eixo da parábola é paralelo ao eixo x, a parábola é “aberta” para a direita ou para a esquerda e pode ser escrita como uma função quadrática de y dando x em função de y.
A forma geral é
x = a y^{2} + b y + c,
onde:
a, b, c são números reais desconhecidos que determinam a forma, a posição e a concavidade da parábola;
y é a variável independente aqui e x é a variável dependente.
Nosso objetivo é determinar a, b e c de modo que os três pontos dados satisfaçam essa equação.
Passo 3
Substituir cada ponto na equação para obter um sistema linear em a,b,c.
Para A:(3,3), substituir x=3 e y=3 em x = a y^{2} + b y + c dá:
9a + 3b + c = 3.
Para B:(6,5), substituir x=6 e y=5 dá:
25a + 5b + c = 6.
Para C:(6,-3), substituir x=6 e y=-3 dá:
9a - 3b + c = 6.
Assim obtemos o sistema
\begin{cases} 9a + 3b + c = 3,\\[4pt] 25a + 5b + c = 6,\\[4pt] 9a - 3b + c = 6. \end{cases}]
Passo 4
Resolver o sistema: primeira eliminação para encontrar b.
Subtraindo a terceira equação da primeira (para eliminar a e c):
(9a+3b+c) - (9a-3b+c) = 3 - 6.
No lado esquerdo 9a-9a=0 e c-c=0, sobrando 3b-(-3b)=6b. No lado direito 3-6=-3. Logo:
6b = -3 \quad\Rightarrow\quad b = -\frac{1}{2}.
Passo 5
Substituir b nas equações para obter duas equações em a e c.
Substituindo b=-\dfrac{1}{2} na primeira equação 9a+3b+c=3:
9a + 3\left(-\tfrac{1}{2}\right) + c = 3 \quad\Rightarrow\quad 9a - \tfrac{3}{2} + c = 3.