Achar a equação da parábola de eixo paralelo a Ox e que passa pelos pontos (3,3),(6,5) e (6,-3).
Resolução de (7): como o eixo da parábola procurada é paralelo ao eixo x , então ela possui equação da forma \mathrm{x}=\mathrm{a} \mathrm{y}^{2}+\mathrm{by}+\mathrm{c}. Precisamos determinar \mathrm{a}, \mathrm{b} e \mathrm{c}.
Como os pontos \mathrm{A}(3,3), \mathrm{B}(6,5) e \mathrm{C}(6,-3) estão na parábola, suas coordenadas devem cumprir a equação procurada, ou seja,
\left\{\begin{array}{l} 9 a+3 b+c=3 \\\\ 25 a+5 b+c=6 \\\\ 9 a-3 b+c=6 \end{array}\right.
Subraindo a terceira equação da primeira temos 6 \mathrm{~b}=-3, ou seja, \mathrm{b}=-\frac{1}{2}. Assim, podemos reescrever as duas primeiras equações:
\left\{\begin{array}{l} 9 a+c=\frac{9}{2} \\\\ 25 a+c=\frac{17}{2} \end{array} \Rightarrow 16 a=4 \Rightarrow a=\frac{1}{4} .\right.
Logo, \mathrm{c}=\frac{9}{2}-\frac{9}{4}=\frac{9}{4}.
Conclusão: a parábola procurada possui equação x=\frac{1}{4} y^{2}-\frac{1}{2} y+\frac{9}{4}.

Passo 1

O que o problema pede e o que nos foi dado.
  • Pede: encontrar a equação da parábola cujo eixo é paralelo ao eixo x e que passa pelos pontos (3,3), (6,5) e (6,-3).
  • Dados (os três pontos pertencem à parábola):
    • A:(3,3)
    • B:(6,5)
    • C:(6,-3)
  • O que precisamos determinar: os coeficientes desconhecidos da equação da parábola (três incógnitas).

Passo 2

Forma geral da parábola com eixo paralelo ao eixo x e interpretação das incógnitas.
  • Quando o eixo da parábola é paralelo ao eixo x, a parábola é “aberta” para a direita ou para a esquerda e pode ser escrita como uma função quadrática de y dando x em função de y.
  • A forma geral é
x = a y^{2} + b y + c,
onde:
  • a, b, c são números reais desconhecidos que determinam a forma, a posição e a concavidade da parábola;
  • y é a variável independente aqui e x é a variável dependente.
  • Nosso objetivo é determinar a, b e c de modo que os três pontos dados satisfaçam essa equação.

Passo 3

Substituir cada ponto na equação para obter um sistema linear em a,b,c.
  • Para A:(3,3), substituir x=3 e y=3 em x = a y^{2} + b y + c dá:
9a + 3b + c = 3.
  • Para B:(6,5), substituir x=6 e y=5 dá:
25a + 5b + c = 6.
  • Para C:(6,-3), substituir x=6 e y=-3 dá:
9a - 3b + c = 6.
  • Assim obtemos o sistema
\begin{cases} 9a + 3b + c = 3,\\[4pt] 25a + 5b + c = 6,\\[4pt] 9a - 3b + c = 6. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema: primeira eliminação para encontrar b.
  • Subtraindo a terceira equação da primeira (para eliminar a e c):
(9a+3b+c) - (9a-3b+c) = 3 - 6.
  • No lado esquerdo 9a-9a=0 e c-c=0, sobrando 3b-(-3b)=6b. No lado direito 3-6=-3. Logo:
6b = -3 \quad\Rightarrow\quad b = -\frac{1}{2}.

Passo 5

Substituir b nas equações para obter duas equações em a e c.
  • Substituindo b=-\dfrac{1}{2} na primeira equação 9a+3b+c=3:
9a + 3\left(-\tfrac{1}{2}\right) + c = 3 \quad\Rightarrow\quad 9a - \tfrac{3}{2} + c = 3.
  • Somando \tfrac{3}{2} em ambos os lados:
9a + c = 3 + \tfrac{3}{2} = \tfrac{6}{2} + \tfrac{3}{2} = \tfrac{9}{2}.
  • Substituindo b=-\dfrac{1}{2} na segunda equação 25a+5b+c=6:
25a + 5\left(-\tfrac{1}{2}\right) + c = 6 \quad\Rightarrow\quad 25a - \tfrac{5}{2} + c = 6.
  • Somando \tfrac{5}{2} em ambos os lados:
25a + c = 6 + \tfrac{5}{2} = \tfrac{12}{2} + \tfrac{5}{2} = \tfrac{17}{2}.
  • Agora temos o sistema reduzido
\begin{cases} 9a + c = \tfrac{9}{2},\\[4pt] 25a + c = \tfrac{17}{2}. \end{cases}]

Passo 6

Eliminar c para encontrar a.
  • Subtraindo a primeira dessas duas equações da segunda:
(25a+c) - (9a+c) = \tfrac{17}{2} - \tfrac{9}{2}.
  • No lado esquerdo 25a-9a=16a e c-c=0. No lado direito \tfrac{17}{2}-\tfrac{9}{2}=\tfrac{8}{2}=4. Logo:
16a = 4 \quad\Rightarrow\quad a = \tfrac{4}{16} = \tfrac{1}{4}.

Passo 7

Determinar c usando a (e verificar consistência).
  • Usar 9a + c = \tfrac{9}{2} com a=\tfrac{1}{4}:
9\left(\tfrac{1}{4}\right) + c = \tfrac{9}{2} \quad\Rightarrow\quad \tfrac{9}{4} + c = \tfrac{9}{2}.
  • Subtraindo \tfrac{9}{4} de ambos os lados:
c = \tfrac{9}{2} - \tfrac{9}{4} = \tfrac{18}{4} - \tfrac{9}{4} = \tfrac{9}{4}.
  • (Checagem rápida: com a=\tfrac{1}{4}, b=-\tfrac{1}{2}, c=\tfrac{9}{4}, calculemos os lados das equações originais)
    • Para A: 9a+3b+c = 9\cdot\tfrac{1}{4} + 3\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) + \tfrac{9}{4} = \tfrac{9}{4} - \tfrac{3}{2} + \tfrac{9}{4} = \tfrac{9+9}{4} - \tfrac{6}{4} = \tfrac{18-6}{4} = \tfrac{12}{4} = 3.
    • Para B: 25a+5b+c = 25\cdot\tfrac{1}{4} + 5\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) + \tfrac{9}{4} = \tfrac{25}{4} - \tfrac{5}{2} + \tfrac{9}{4} = \tfrac{25+9}{4} - \tfrac{10}{4} = \tfrac{34-10}{4} = \tfrac{24}{4} = 6.
    • Para C: 9a-3b+c = \tfrac{9}{4} -3\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) + \tfrac{9}{4} = \tfrac{9}{4} + \tfrac{3}{2} + \tfrac{9}{4} = \tfrac{9+9}{4} + \tfrac{6}{4} = \tfrac{18+6}{4} = \tfrac{24}{4} = 6.
  • As três igualdades conferem com as abscissas dadas, então os coeficientes estão corretos.

Resposta

x = \tfrac{1}{4}y^{2} - \tfrac{1}{2}y + \tfrac{9}{4}

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