Transforme a representação em Espaçp de Estados do sistema abaixo em Função de Tranferência:
dotx=[ccc -3 & 1 & 0 0 & -6 & 1 4 & 0 & -5 ] x+[l 0 1 1 ] de

Passo 1

Beleza, temos um sistema em espaço de estados:
dot x = A,x + B,de
com
A = -3 & 1 & 0[3pt]0 & -6 & 1[3pt]4 & 0 & -5, B = 0[3pt]1[3pt]1, C = 2 & 1 & 1
O que a questão pede é transformar isso numa função de transferência G(s)=C,(sI - A)^-1 B .
Conteúdo principal: transformar espaço de estados em função de transferência usando a fórmula
Vamos precisar de álgebra matricial básica, determinantes e, no nosso caso, a Regra de Cramer pra achar .

Passo 2

Primeiro montamos a matriz sI - A = s+3 & -1 & 0 0 & s+6 & -1 -4 & 0 & s+5 . Como G(s) ;=; C,(sI - A)^-1 B é a identidade G(s) = 2X1 + X2 + X3 , temos
Em seguida, a função de transferência é
Pra não calcular toda a inversa, a gente usa a ideia de resolver e depois faz . Se chamar , então

Passo 3

Precisamos do determinante De. Usando cofactores na primeira linha:
det!s+6 & -10 & s+5=(s+6)(s+5), det!0 & -1-4 & s+5 =0cdot(s+5)-(-1)(-4)=-4
Calculando:
De
Logo

Passo 4

Agora aplicamos a Regra de Cramer para cada Xi = det(Mi)De na equação . Isso é:
onde é a matriz com a -ésima coluna trocada por .

Passo 5

  1. Para M1= 0 & -1 & 0 1 & s+6 & -1 1 & 0 & s+5 , det(M1) = s+6 , substituímos a coluna 1 por M2= s+3 & 0 & 0 0 & 1 & -1 -4 & 1 & s+5 , det(M2) = (s+3)(s+6) :
M3= s+3 & -1 & 0 0 & s+6& 1 -4 & 0 & 1 , det(M3) = s^2 +9s +22
  1. Para X1=s+6De, trocamos a coluna 2:
  1. Para , trocamos a coluna 3:
Então

Passo 6

Finalmente,
G(s) = 2X1 + X2 + X3 = 2(s+6) + (s+3)(s+6) + (s^2+9s+22)De
Somando tudo em cima:
2(s+6)=2s+12, (s+3)(s+6)=s^2+9s+18,
então numerador =
2s+12 + (s^2+9s+18) + (s^2+9s+22) =2s^2+20s+52

Resposta

boxed G(s) ;=; 2s^2 + 20s + 52 s^3 + 14s^2 + 63s + 86

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