Determine y[n] solução das equações:
f) y[n+2]-52 y[n+1]+y[n]=2^-n u[n], y[0]=1, y[1]=0

Passo 1

Beleza, o que temos é uma equação de diferenças linear de segunda ordem não-homogênea:
y[n+2] - tfrac52,y[n+1] + y[n] = 2^-n,u[n], y[0]=1,;y[1]=0
Aqui o conteúdo é “equações de recorrência” com coeficientes constantes. Para resolver, a gente precisa de:
  1. Solução homogênea (achar as raízes da equação característica).
  2. Solução particular (método dos coeficientes a determinar).
  3. Combinar as duas e usar as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a parte homogênea associada:
yh[n+2] - tfrac52,yh[n+1] + yh[n] = 0
A gente monta a equação característica trocando r^2 - tfrac52,r + 1 = 0 por r = tfrac52 pm raiztfrac254-42 = tfrac52 pm tfrac322 ;Longrightarrow; r1 = 2,; r2 = tfrac12 :
yh[n] = Acdot 2^n ;+; Bcdot l(tfrac12r)^n
Calculando as raízes:
Logo a solução homogênea é

Passo 3

Agora a solução particular yp[n] = C,nl(tfrac12r)^n para o lado direito y[n+2]-tfrac52,y[n+1]+y[n] = (tfrac12)^n, .
Como Cl[tfracn+24 - tfrac5(n+1)4 + nr] = 1 ;Longrightarrow; -tfrac3C4 = 1 ;Longrightarrow; C = -tfrac43 já é raiz da característica (multiplicidade 1), a gente assume
yp[n] = -tfrac43;nl(tfrac12r)^n
Substituindo em
e cancelando o , dá
Então

Passo 4

A solução geral é
y[n] = yh[n] + yp[n] = A,2^n + Bl(tfrac12r)^n ;-;tfrac43,nl(tfrac12r)^n
Usamos y[0] = A + B = 1 e y[1] = Acdot2 + Bcdottfrac12 - tfrac43cdot1cdottfrac12 = 0 ;Longrightarrow; 2A + tfracB2 = tfrac23 :
  1. Para A + B = 1, 2A + tfracB2 = tfrac23, :
  1. Para :
Resolvendo o sistema
vem e

Resposta

boxed% y[n] = 19,2^n ;+;89l(tfrac12r)^n ;-;43,nl(tfrac12r)^n, n>=0

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