Determine a transformada
sendo
Passo 1
Beleza, vamos nessa! O enunciado pede a transformada Z de
Isso é matéria de sinais e sistemas, mais precisamente a transformada Z e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar de:
1. A transformada Z da sequência
2. A propriedade que diz que somar sobre
Passo 2
Primeiro, vamos achar
Para isso usamos uma técnica que vem de séries: sabemos que
Derivando em relação a
duas vezes e multiplicando adequadamente, obtém-se a fórmula padrão
Aqui basta usar
$$X(z)=\sum_{n=0}{\infty}n2,z^{-n}
=\frac{z{-1}(1+z{-1})}{\bigl(1-z{-1}\bigr)3}.$$
Passo 3
Agora simplificamos essa expressão. Note que
Substituindo em
$$
X(z)
=\frac{z{-1}(1+z{-1})}{\frac{(z-1)3}{z3}}
=\frac{z{-1}(1+z{-1}),z3}{(z-1)3}
=\frac{z2(1+z{-1})}{(z-1)^3}
=\frac{z2\bigl(\tfrac{z+1}{z}\bigr)}{(z-1)3}
=\frac{z(z+1)}{(z-1)^3},.
=\frac{z{-1}(1+z{-1})}{\frac{(z-1)3}{z3}}
=\frac{z{-1}(1+z{-1}),z3}{(z-1)3}
=\frac{z2(1+z{-1})}{(z-1)^3}
=\frac{z2\bigl(\tfrac{z+1}{z}\bigr)}{(z-1)3}
=\frac{z(z+1)}{(z-1)^3},.
$$
Passo 4
Sabendo que
, usamos a propriedade de acumulação:
$$Y(z)=\mathcal{Z}{y[n]}
=\frac{X(z)}{1-z^{-1}}.
Y(z)
=\frac{\frac{z(z+1)}{(z-1)^3}}{,\frac{z-1}{z},}
=\frac{z(z+1)}{(z-1)^3}\cdot\frac{z}{z-1}
=\frac{z(z+1)}{(z-1)^3}\cdot\frac{z}{z-1}
=\frac{z2,(z+1)}{(z-1)4},. $$