Determine a transformada Y(z)=Zy[n] sendo
y[n]=sumk=0^n k^2 , n >= 0

Passo 1

Beleza, vamos nessa! O enunciado pede a transformada Z de
y[n]=sumk=0^nk^2,, n>=0
Isso é matéria de sinais e sistemas, mais precisamente a transformada Z e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar de:
1. A transformada Z da sequência x[n]=n^2.
2. A propriedade que diz que somar sobre n (isto é, y[n]=sumk=0^n x[k]) corresponde a multiplicar a transformada Z de x[n] por tfrac11-z^-1.

Passo 2

Primeiro, vamos achar
X(z)=Zx[n]=sumn=0^inftyn^2,z^-n
Para isso usamos uma técnica que vem de séries: sabemos que
sumn=0^inftya^n=11-a,, |a|<1
Derivando em relação a a duas vezes e multiplicando adequadamente, obtém-se a fórmula padrão
sumn=0^inftyn^2,a^n=a(1+a)(1-a)^3,, |a|<1
Aqui basta usar a=z^-1 (com |z|>1 para convergência), então
$$X(z)=\sum_{n=0}{\infty}n2,z^{-n}
=\frac{z{-1}(1+z{-1})}{\bigl(1-z{-1}\bigr)3}.$$

Passo 3

Agora simplificamos essa expressão. Note que
1-z^-1=z-1zLongrightarrow(1-z^-1)^3=(z-1)^3z^3
Substituindo em X(z):
$$
X(z)
=\frac{z{-1}(1+z{-1})}{\frac{(z-1)3}{z3}}
=\frac{z{-1}(1+z{-1}),z3}{(z-1)3}
=\frac{z2(1+z{-1})}{(z-1)^3}
=\frac{z2\bigl(\tfrac{z+1}{z}\bigr)}{(z-1)3}
=\frac{z(z+1)}{(z-1)^3},.
$$

Passo 4

Sabendo que y[n]=sumk=0^n x[k], usamos a propriedade de acumulação:
$$Y(z)=\mathcal{Z}{y[n]}
=\frac{X(z)}{1-z^{-1}}. Y(z)=Zy[n] =X(z)1-z^-1ãY(z)
=\frac{\frac{z(z+1)}{(z-1)^3}}{,\frac{z-1}{z},}
=\frac{z(z+1)}{(z-1)^3}\cdot\frac{z}{z-1}
=\frac{z2,(z+1)}{(z-1)4},. $$

Resposta

boxedY(z)=z^2,(z+1)(z-1)^4,, Região de convergência: |z|>1 ãê

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