Transforme as senoides a seguir em fasores:
20 \cos (2 t)+15 \operatorname{sen}(2 t)

Passo 1

O enunciado dá a soma de duas senoides e pede que transformemos em fasores:
20\cos(2t)+15\operatorname{sen}(2t).
Informações relevantes: a frequência angular é \omega=2 (rad/s). Precisamos obter o fasor complexo associado a essa soma (usar referência em cosseno) e, opcionalmente, a forma única em cosseno com amplitude e fase.

Passo 2

O que é um fasor (aula rápida e prática)?
Uma senoide no tempo escrita como
A\cos(\omega t+\varphi)
pode ser vista como a parte real de uma exponencial complexa:
A\cos(\omega t+\varphi)=\Re\{A e^{j\varphi}e^{j\omega t}\}.
O fasor é justamente a amplitude complexa que multiplica e^{j\omega t}, ou seja
\text{fasor} = A e^{j\varphi},
que também se escreve na forma polar A\angle\varphi. Aqui A é a amplitude (real e positiva) e \varphi é a fase (em radianos ou graus). Importante: estamos usando referência em cosseno; todo senoide deve ser convertida para uma cosseno equivalente antes de formar o fasor.

Passo 3

Converter \operatorname{sen}(2t) para cosseno (identidade fundamental):
\operatorname{sen}(\theta)=\cos\bigl(\theta-\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Aplicando em \operatorname{sen}(2t):
15\operatorname{sen}(2t)=15\cos\bigl(2t-\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Agora ambas as parcelas estão em forma de cosseno com a mesma \omega=2.

Passo 4

Escrever os fasores individuais (referência em cosseno):
Para 20\cos(2t) o fasor é
20\angle 0.
Para 15\cos\bigl(2t-\tfrac{\pi}{2}\bigr) o fasor é
15\angle -\tfrac{\pi}{2}.
Converter para forma retangular (para somar facilmente):
20\angle 0 = 20 + j0,
15\angle -\tfrac{\pi}{2} = 15\bigl(\cos(-\tfrac{\pi}{2})+j\sin(-\tfrac{\pi}{2})\bigr)=0 - j15.

Passo 5

Somar os fasores (adição vetorial / complexa):
\text{soma}=(20+ j0)+(0 - j15)=20 - j15.
Calcular magnitude (amplitude resultante):
|20-j15|=\sqrt{20^{2}+(-15)^{2}}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25.
Calcular a fase (ângulo) usando a tangente:
\theta=\arctan\!\left(\frac{\operatorname{Im}}{\operatorname{Re}}\right)=\arctan\!\left(\frac{-15}{20}\right)=-\arctan\!\left(\tfrac{3}{4}\right).
Numérico: \arctan(0,75)\approx 36{,}86989765^\circ, logo
\theta\approx -36{,}87^\circ\quad\text{ou}\quad \theta\approx -0{,}6435\\ \text{rad}.
Verificação de quadrante: real >0 e imag <0 → quarto quadrante, ângulo negativo está correto.

Passo 6

Interpretando os resultados: a soma das duas senoides corresponde ao fasor (na mesma frequência \omega=2)
20 - j15
que em forma polar é
25\angle -36{,}87^\circ\\ (\text{ou }25e^{-j0{,}6435}).
A forma temporal equivalente única (referência em cosseno) é
25\cos\bigl(2t-36{,}87^\circ\bigr).

Resposta

20-j15
25\angle -36{,}87^\circ
25\cos\bigl(2t-36{,}87^\circ\bigr)

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