Transforme as senoides a seguir em fasores:
8 \operatorname{sen}\left(20 t+30^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado dá a senoide 8 \operatorname{sen}\left(20 t+30^{\circ}\right) e pede para transformá‑la em fasor. Informações relevantes extraídas do enunciado:

Amplitude: 8.
Frequência angular: \omega=20\\ \mathrm{rad/s}.
Fase no argumento da senoide: 30^{\circ}.
A forma temporal dada é uma função seno: \sin(\cdot).

Não vamos resolver nada ainda; apenas listamos o que temos.

Passo 2

O que é um fasor (explicação didática e convenção usada)?

Um fasor é a representação complexa (amplitude e fase) de uma senoide no domínio complexo, que facilita cálculos em regime senoidal estacionário. A convenção de engenharia mais comum é representar sinais como
v(t)=\Re\{\tilde{V}\,e^{j\omega t}\},
onde \tilde{V} é o fasor (número complexo) e \Re\{\cdot\} significa “parte real”. Nessa convenção o fasor \tilde{V} é equivalente à amplitude e fase da senoide quando ela é escrita usando cosseno como referência:
A\cos(\omega t+\varphi)\longleftrightarrow \tilde{V}=A\angle\varphi.

Importante: como aqui temos seno em vez de cosseno, precisaremos converter para a referência em cosseno antes de formar o fasor.

Passo 3

Converter \sin para \cos (identidade trigonométrica usada e por quê)

Usamos a identidade trigonométrica
\sin(\theta)=\cos\bigl(\theta-90^{\circ}\bigr).
Aplicando à nossa senoide:
8\sin\bigl(20t+30^{\circ}\bigr)=8\cos\bigl(20t+30^{\circ}-90^{\circ}\bigr)=8\cos\bigl(20t-60^{\circ}\bigr).

Ou seja, a mesma onda escrita como cosseno tem fase -60^{\circ}. Agora já podemos formar o fasor usando a convenção do passo anterior.

Passo 4

Formar o fasor em forma polar (passo direto)

Pela convenção A\cos(\omega t+\varphi)\longleftrightarrow A\angle\varphi, temos
\tilde{V}=8\angle(-60^{\circ})
associado à frequência \omega=20\\ \mathrm{rad/s}.

Isso já é a forma polar do fasor.

Passo 5

Converter o fasor para forma retangular (explicando cada etapa de cálculo)

Forma retangular significa escrever \tilde{V}=X+jY com X a parte real e Y a parte imaginária.

Usamos as relações trigonométricas
\cos(-60^{\circ})=\tfrac{1}{2},\qquad \sin(-60^{\circ})=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx-0,8660254.
Então
\tilde{V}=8\bigl(\cos(-60^{\circ})+j\sin(-60^{\circ})\bigr)=8\bigl(\tfrac{1}{2}+j(-\tfrac{\sqrt{3}}{2})\bigr).
\tilde{V}=8\cdot\tfrac{1}{2}+j\,8\cdot\bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)=4 - j\,6,92820323\ldots

Arredondando razoavelmente, obtemos \tilde{V}=4 - j\,6,9282.

Passo 6

Verificação rápida (mostrar que o fasor reconstrói a senoide)

Tomando \tilde{V}=8\angle(-60^{\circ}) e calculando
\Re\{\tilde{V}\,e^{j20t}\}=\Re\{8\angle(-60^{\circ})\;e^{j20t}\}=8\cos\bigl(20t-60^{\circ}\bigr),
que, pela identidade do Passo 3, é exatamente
8\sin\bigl(20t+30^{\circ}\bigr).

Portanto a conversão está correta.

Resposta

\tilde{V}=8\angle(-60^{\circ}) (polar, \omega=20\\ \mathrm{rad/s})
\tilde{V}=4 - j\,6,9282 (retangular)

Exercícios relacionados