Determinar a resposta total de um sistema de 1 GDL sub amortecido com m=10 \mathrm{~kg} e k=4000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, sujeito ao deslocamento inicial x_{0}=0,01 \mathrm{~m} e velocidade inicial \dot{x}_{0}=0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, sob as seguintes condições:
c=0 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m} e F(t)=100 cos (10 t) \mathrm{N}

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema massa-mola sem amortecimento com
m = 10\text{ kg},\quad k = 4000\text{ N/m},\quad c=0,
sujeito à força externa
F(t)=100\cos(10t)\text{ N},
e condições iniciais
x(0)=0,01\text{ m},\quad \dot x(0)=0\text{ m/s}.
O conteúdo aqui é vibração forçada sem amortecimento. Vamos obter a solução geral da equação diferencial.

Passo 2

Calculamos a frequência natural não amortecida.
\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{4000}{10}} = 20\text{ rad/s}.

Passo 3

A equação do movimento é
m\ddot{x} + kx = F(t),
ou, dividindo por m,
\ddot{x} + \omega_n^2 \cdot x = \frac{F_0}{m} \cos(\omega t),
onde F_0 = 100,N e \omega = 10,rad/s. A solução total é
x(t) = x_h(t) + x_p(t),
com x_h solução homogênea e x_p solução particular.

Passo 4

Procuramos x_p na forma
x_p(t)=X\cos(\omega t).
Substituindo em \ddot x + \omega_n^2 x = (F_0/m)\cos(\omega t)
(-\omega^2+\omega_n^2)\,X = \frac{F_0}{m},
logo
X = \frac{F_0/m}{\omega_n^2-\omega^2} = \frac{100/10}{20^2-10^2} = \frac{10}{400-100} = \frac{10}{300} = \frac{1}{30}\approx0,03333\text{ m}.

Passo 5

A solução homogênea é
x_h(t)=C\cos(\omega_n t)+D\sin(\omega_n t).
Em t=0:
x(0)=C+X=0,01\quad\Longrightarrow\quad C=0,01-\tfrac{1}{30}=-0,02333.
Também
\dot x(t)=-C\,\omega_n\sin(\omega_n t)+D\,\omega_n\cos(\omega_n t)-X\,\omega\sin(\omega t)
e em t=0 isso vira D\,\omega_n=0, logo D=0.

Passo 6

Juntando as partes, a resposta total é
x(t)=\bigl(0,01-\tfrac{1}{30}\bigr)\cos(20t)+\tfrac{1}{30}\cos(10t) =-0,02333\cos(20t)+0,03333\cos(10t).

Resposta

x(t)=-0,02333\cos(20t)+0,03333\cos(10t)\text{ m}.

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