Um trapézio pode ter três ângulos internos agudos? Por que?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Um trapézio pode ter três ângulos internos agudos? Por que?”
Informações relevantes (dadas ou pela definição de trapézio):
  • Um trapézio é um quadrilátero com um par de lados paralelos (chamemos de bases).
  • Queremos saber se é possível que três dos quatro ângulos internos sejam agudos (isto é, menores que 90^\circ).

Passo 2

Vamos esclarecer conceitos básicos (bem mastigados):
  • Um ângulo é agudo se ele é menor que 90^\circ. Ex.: 60^\circ é agudo.
  • Um ângulo é obtuso se ele é maior que 90^\circ. Ex.: 120^\circ é obtuso.
  • Dois ângulos são suplementares (ou somam 180^\circ) quando formam um par de ângulos que “completam” uma linha reta. Ex.: 70^\circ e 110^\circ são suplementares porque 70^\circ+110^\circ=180^\circ.

Passo 3

Num trapézio, marque os vértices em ordem (no sentido horário) como A,B,C,D, com as bases paralelas sendo AB e CD. As outras duas arestas BC e DA são as laterais (transversais das paralelas).
Pelo fato de AB\parallel CD, as propriedades de paralelas e transversais dizem que os ângulos formados em cada lateral são suplementares. Isso dá duas igualdades importantes:
\angle A + \angle D = 180^\circ
\angle B + \angle C = 180^\circ
Expliquei isso assim: a lateral AD intercepta as paralelas AB e CD, então os ângulos em A e D são “consecutivos internos” e somam 180^\circ; mesmo para a lateral BC com B e C.

Passo 4

Agora raciocínio por contradição: suponha que três ângulos sejam agudos. Sem perda de generalidade, suponha
\angle A<90^\circ,\quad \angle B<90^\circ,\quad \angle C<90^\circ.
Olhe para a igualdade \angle B+\angle C=180^\circ (do Passo 3). Se ambos \angle B e \angle C são menores que 90^\circ, então sua soma é menor que 90^\circ+90^\circ=180^\circ. Ou seja,
\angle B+\angle C < 180^\circ,
o que contradiz a igualdade \angle B+\angle C=180^\circ. Portanto não é possível que tanto \angle B quanto \angle C sejam agudos ao mesmo tempo.

Passo 5

A contradição do Passo 4 mostra que, em cada par suplementar (\angle A,\angle D) e (\angle B,\angle C), pelo menos um ângulo é não-agudo (i.e., obtuso ou reto). Assim não se pode ter três ângulos agudos, porque isso exigiria que em uma das duas igualdades acima os dois ângulos fossem agudos, o que é impossível. Conclusão prática para a prova: num trapézio cada lateral “impõe” uma soma 180^\circ, então em cada lateral há no máximo um ângulo agudo — logo no máximo dois ângulos agudos no trapézio.

Resposta

Não. Um trapézio não pode ter três ângulos internos agudos, pois os pares de ângulos nas mesmas laterais são suplementares ( \angle A+\angle D=180^\circ e \angle B+\angle C=180^\circ), o que impede que ambos os ângulos de um par sejam menores que 90^\circ.

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