Um trapézio pode ter três ângulos internos agudos? Por que?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Um trapézio pode ter três ângulos internos agudos? Por que?”
Informações relevantes (dadas ou pela definição de trapézio):
Informações relevantes (dadas ou pela definição de trapézio):
- Um trapézio é um quadrilátero com um par de lados paralelos (chamemos de bases).
- Queremos saber se é possível que três dos quatro ângulos internos sejam agudos (isto é, menores que
).
Passo 2
Vamos esclarecer conceitos básicos (bem mastigados):
- Um ângulo é agudo se ele é menor que
. Ex.: é agudo. - Um ângulo é obtuso se ele é maior que
. Ex.: é obtuso. - Dois ângulos são suplementares (ou somam
) quando formam um par de ângulos que “completam” uma linha reta. Ex.: e são suplementares porque .
Passo 3
Num trapézio, marque os vértices em ordem (no sentido horário) como
, com as bases paralelas sendo
e
. As outras duas arestas
e
são as laterais (transversais das paralelas).
Pelo fato de , as propriedades de paralelas e transversais dizem que os ângulos formados em cada lateral são suplementares. Isso dá duas igualdades importantes:
Pelo fato de
Expliquei isso assim: a lateral
intercepta as paralelas
e
, então os ângulos em
e
são “consecutivos internos” e somam
; mesmo para a lateral
com
e
.
Passo 4
Agora raciocínio por contradição: suponha que três ângulos sejam agudos. Sem perda de generalidade, suponha
Olhe para a igualdade
(do Passo 3). Se ambos
e
são menores que
, então sua soma é menor que
. Ou seja,
o que contradiz a igualdade
. Portanto não é possível que tanto
quanto
sejam agudos ao mesmo tempo.
Passo 5
A contradição do Passo 4 mostra que, em cada par suplementar
e
, pelo menos um ângulo é não-agudo (i.e., obtuso ou reto). Assim não se pode ter três ângulos agudos, porque isso exigiria que em uma das duas igualdades acima os dois ângulos fossem agudos, o que é impossível. Conclusão prática para a prova: num trapézio cada lateral “impõe” uma soma
, então em cada lateral há no máximo um ângulo agudo — logo no máximo dois ângulos agudos no trapézio.
Resposta
Não. Um trapézio não pode ter três ângulos internos agudos, pois os pares de ângulos nas mesmas laterais são suplementares (
e
), o que impede que ambos os ângulos de um par sejam menores que
.