1. Em se tratando de soldagem, no caso de uma corrente pulsada, calcular \mathrm{V}_{\text {RMS }} e V { }_{\text {médio }}é para uma condição genérica e compará-los (assuma que \alpha=\mathrm{V}_{\mathrm{b}} / \mathrm{V}_{\mathrm{p}} ). Calcular a relação V_{\text {RMS }} / V_{\text {médio }}é para as combinações \alpha e \beta com
    \alpha=0 ;
    \alpha=1;
    0<\alpha<1 ;
    \beta=\pi \mathrm{e}
    0<\beta<2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede:
  • Calcular \mathrm{V}_{\mathrm{RMS}} e \mathrm{V}_{\text{médio}}é para a condição genérica mostrada na figura, assumindo \alpha=\dfrac{V_{b}}{V_{p}}.
  • Calcular a razão \dfrac{V_{\text{RMS}}}{V_{\text{médio}}}é e avaliá‑la para combinações indicadas (casos com \alpha=0, \alpha=1, 0<\alpha<1; considerar 0<\beta<2\pi e um caso típico \beta=\pi para exemplificar).
Informações relevantes dadas (peguei estes dados da imagem):
  • O sinal é periódico com período representado por 2\pi (a figura mostra um ciclo de 0 a 2\pi).
  • No intervalo 0\le t<\beta a tensão vale V_p.
  • No intervalo \beta\le t<2\pi a tensão vale V_b.
  • Foi definida \alpha=\dfrac{V_b}{V_p} (portanto V_b=\alpha V_p).
  • Os parâmetros numéricos a considerar: 0<\beta<2\pi; e casos particulares \alpha=0, \alpha=1, 0<\alpha<1 e exemplo \beta=\pi.

Passo 2

Definições e ideia do cálculo (aula curta, passo a passo):
  • O valor médio (média aritmética ao longo do período) de uma função periódica v(t) com período T é
V_{\text{médio}}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} v(t)\,dt.é
  • O valor eficaz (RMS, root mean square) é a raiz quadrada da média do quadrado:
V_{\mathrm{RMS}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} [v(t)]^{2}\,dt}.
  • No nosso problema T=2\pi. Como v(t) é constante em dois trechos do período, as integrais ficam fáceis: basta somar a contribuição do trecho onde v=V_p e a do trecho onde v=V_b=\alpha V_p.

Passo 3

Cálculo do valor médio \mathrm{V}_{\text{médio}}é fazendo a integral por partes:
V_{\text{médio}}=\frac{1}{2\pi}\left(\int_{0}^{\beta} V_p\,dt + \int_{\beta}^{2\pi} V_b\,dt\right).é
  • Calcule cada integral:
\int_{0}^{\beta} V_p\,dt = V_p\beta, \qquad \int_{\beta}^{2\pi} V_b\,dt = V_b(2\pi-\beta).
  • Substituindo V_b=\alpha V_p e somando:
V_{\text{médio}}=\frac{1}{2\pi}\left(V_p\beta + \alpha V_p(2\pi-\beta)\right).é
  • Fatorando V_p:
\boxed{\,V_{\text{médio}}=V_p\;\frac{\beta + \alpha(2\pi-\beta)}{2\pi}\,}é

Passo 4

Cálculo de \mathrm{V}_{\mathrm{RMS}} fazendo a integral do quadrado:
V_{\mathrm{RMS}}=\sqrt{\frac{1}{2\pi}\left(\int_{0}^{\beta} V_p^{2}\,dt + \int_{\beta}^{2\pi} V_b^{2}\,dt\right)}.
  • Calcule cada integral:
\int_{0}^{\beta} V_p^{2}\,dt = V_p^{2}\beta, \qquad \int_{\beta}^{2\pi} V_b^{2}\,dt = V_b^{2}(2\pi-\beta).
  • Substituindo V_b=\alpha V_p (então V_b^{2}=\alpha^{2}V_p^{2}):
V_{\mathrm{RMS}}=\sqrt{\frac{1}{2\pi}\left(V_p^{2}\beta + \alpha^{2}V_p^{2}(2\pi-\beta)\right)}.
  • Fatorando V_p^{2} e extraindo a raiz:
\boxed{\,V_{\mathrm{RMS}}=V_p\sqrt{\frac{\beta + \alpha^{2}(2\pi-\beta)}{2\pi}}\,}

Passo 5

Expressão da razão \dfrac{V_{\mathrm{RMS}}}{V_{\text{médio}}}é em forma simples:
  • Dividindo as expressões obtidas:
\frac{V_{\mathrm{RMS}}}{V_{\text{médio}}} = \frac{V_p\sqrt{\dfrac{\beta + \alpha^{2}(2\pi-\beta)}{2\pi}}} {V_p\dfrac{\beta + \alpha(2\pi-\beta)}{2\pi}} = \frac{\sqrt{2\pi\left[\beta + \alpha^{2}(2\pi-\beta)\right]}}{\beta + \alpha(2\pi-\beta)}.é
  • Portanto:
\boxed{\,\frac{V_{\mathrm{RMS}}}{V_{\text{médio}}} =\frac{\sqrt{2\pi\left(\beta + \alpha^{2}(2\pi-\beta)\right)}}{\beta + \alpha(2\pi-\beta)}\,}é

Passo 6

Avaliação dos casos pedidos (calculei substituindo \alpha nas fórmulas acima; mantive \beta simbólica quando apropriado):
  • Caso \alpha=0 (ou seja V_b=0, pulso entre 0 e V_p):
    • \displaystyle V_{\text{médio}}=V_p\frac{\beta}{2\pi}.é
    • \displaystyle V_{\mathrm{RMS}}=V_p\sqrt{\frac{\beta}{2\pi}}.
    • Razão:
    \frac{V_{\mathrm{RMS}}}{V_{\text{médio}}} =\frac{\sqrt{2\pi\beta}}{\beta} =\sqrt{\frac{2\pi}{\beta}}.é
  • Caso \alpha=1 (ou seja V_b=V_p, sinal constante igual a V_p):
    • \displaystyle V_{\text{médio}}=V_p,\qquad V_{\mathrm{RMS}}=V_p.é
    • Razão:
    \frac{V_{\mathrm{RMS}}}{V_{\text{médio}}}=1.é
  • Caso genérico 0<\alpha<1 com 0<\beta<2\pi:
    • Usar as fórmulas gerais apresentadas nos passos 3–5. Observação importante (teoria útil para prova): por definição de RMS e média, sempre vale
    V_{\mathrm{RMS}}\ge |V_{\text{médio}}|,é
    com igualdade somente quando a tensão é constante ao longo do período (aqui esse caso é \alpha=1 e qualquer \beta). Isso explica por que a razão é \ge 1 e igual a 1 apenas em \alpha=1.
  • Exemplo útil: \beta=\pi (pulso de meia‑onda, tempo alto igual a tempo baixo)
    • \displaystyle V_{\text{médio}}=V_p\frac{1+\alpha}{2}.é
    • \displaystyle V_{\mathrm{RMS}}=V_p\sqrt{\frac{1+\alpha^{2}}{2}}.
    • Razão:
    \frac{V_{\mathrm{RMS}}}{V_{\text{médio}}} =\frac{\sqrt{\dfrac{1+\alpha^{2}}{2}}}{\dfrac{1+\alpha}{2}} =\frac{\sqrt{2(1+\alpha^{2})}}{1+\alpha}.é
    • Esse exemplo \beta=\pi é prático para ver como a razão depende só de \alpha quando a duração dos trechos é igual.

Resposta

\displaystyle V_{\text{médio}}=V_p\;\frac{\beta + \alpha(2\pi-\beta)}{2\pi}é\n
\displaystyle V_{\mathrm{RMS}}=V_p\sqrt{\frac{\beta + \alpha^{2}(2\pi-\beta)}{2\pi}}\n
\displaystyle \frac{V_{\mathrm{RMS}}}{V_{\text{médio}}}=\frac{\sqrt{2\pi\left(\beta + \alpha^{2}(2\pi-\beta)\right)}}{\beta + \alpha(2\pi-\beta)}é\n
Para \alpha=0: \displaystyle \frac{V_{\mathrm{RMS}}}{V_{\text{médio}}}=\sqrt{\dfrac{2\pi}{\beta}}é\n
Para \alpha=1: \displaystyle \frac{V_{\mathrm{RMS}}}{V_{\text{médio}}}=1é\n
Para 0<\alpha<1 (e 0<\beta<2\pi): usar a expressão geral acima; nota: V_{\mathrm{RMS}}\ge V_{\text{médio}}é com igualdade só em \alpha=1\n
Para \beta=\pi: \displaystyle V_{\text{médio}}=V_p\frac{1+\alpha}{2},\quad V_{\mathrm{RMS}}=V_p\sqrt{\frac{1+\alpha^{2}}{2}},\quad \frac{V_{\mathrm{RMS}}}{V_{\text{médio}}}=\frac{\sqrt{2(1+\alpha^{2})}}{1+\alpha}éé

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