Em se tratando de soldagem, no caso de uma corrente pulsada, calcular \mathrm{V}_{\text {RMS }} e V { }_{\text {médio }} para uma condição genérica e compará-los (assuma que \alpha=\mathrm{V}_{\mathrm{b}} / \mathrm{V}_{\mathrm{p}} ). Calcular a relação V_{\text {RMS }} / V_{\text {médio }} para as combinações \alpha e \beta com \alpha=0 ; \alpha=1; 0<\alpha<1 ; \beta=\pi \mathrm{e} 0<\beta<2 \pi.
Passo 1
O enunciado pede:
Calcular \mathrm{V}_{\mathrm{RMS}} e \mathrm{V}_{\text{médio}} para a condição genérica mostrada na figura, assumindo \alpha=\dfrac{V_{b}}{V_{p}}.
Calcular a razão \dfrac{V_{\text{RMS}}}{V_{\text{médio}}} e avaliá‑la para combinações indicadas (casos com \alpha=0, \alpha=1, 0<\alpha<1; considerar 0<\beta<2\pi e um caso típico \beta=\pi para exemplificar).
Informações relevantes dadas (peguei estes dados da imagem):
O sinal é periódico com período representado por 2\pi (a figura mostra um ciclo de 0 a 2\pi).
No intervalo 0\le t<\beta a tensão vale V_p.
No intervalo \beta\le t<2\pi a tensão vale V_b.
Foi definida \alpha=\dfrac{V_b}{V_p} (portanto V_b=\alpha V_p).
Os parâmetros numéricos a considerar: 0<\beta<2\pi; e casos particulares \alpha=0, \alpha=1, 0<\alpha<1 e exemplo \beta=\pi.
Passo 2
Definições e ideia do cálculo (aula curta, passo a passo):
O valor médio (média aritmética ao longo do período) de uma função periódica v(t) com período T é
No nosso problema T=2\pi. Como v(t) é constante em dois trechos do período, as integrais ficam fáceis: basta somar a contribuição do trecho onde v=V_p e a do trecho onde v=V_b=\alpha V_p.
Passo 3
Cálculo do valor médio \mathrm{V}_{\text{médio}} fazendo a integral por partes:
Usar as fórmulas gerais apresentadas nos passos 3–5. Observação importante (teoria útil para prova): por definição de RMS e média, sempre vale
V_{\mathrm{RMS}}\ge |V_{\text{médio}}|,é
com igualdade somente quando a tensão é constante ao longo do período (aqui esse caso é \alpha=1 e qualquer \beta). Isso explica por que a razão é \ge 1 e igual a 1 apenas em \alpha=1.
Exemplo útil: \beta=\pi (pulso de meia‑onda, tempo alto igual a tempo baixo)
Esse exemplo \beta=\pi é prático para ver como a razão depende só de \alpha quando a duração dos trechos é igual.
Resposta
\displaystyle V_{\text{médio}}=V_p\;\frac{\beta + \alpha(2\pi-\beta)}{2\pi}é\n \displaystyle V_{\mathrm{RMS}}=V_p\sqrt{\frac{\beta + \alpha^{2}(2\pi-\beta)}{2\pi}}\n \displaystyle \frac{V_{\mathrm{RMS}}}{V_{\text{médio}}}=\frac{\sqrt{2\pi\left(\beta + \alpha^{2}(2\pi-\beta)\right)}}{\beta + \alpha(2\pi-\beta)}é\n
Para \alpha=0: \displaystyle \frac{V_{\mathrm{RMS}}}{V_{\text{médio}}}=\sqrt{\dfrac{2\pi}{\beta}}é\n
Para \alpha=1: \displaystyle \frac{V_{\mathrm{RMS}}}{V_{\text{médio}}}=1é\n
Para 0<\alpha<1 (e 0<\beta<2\pi): usar a expressão geral acima; nota: V_{\mathrm{RMS}}\ge V_{\text{médio}}é com igualdade só em \alpha=1\n
Para \beta=\pi: \displaystyle V_{\text{médio}}=V_p\frac{1+\alpha}{2},\quad V_{\mathrm{RMS}}=V_p\sqrt{\frac{1+\alpha^{2}}{2}},\quad \frac{V_{\mathrm{RMS}}}{V_{\text{médio}}}=\frac{\sqrt{2(1+\alpha^{2})}}{1+\alpha}éé