Encontre a representação das curvas em coordenadas polares:
;
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a representação da curva dada em coordenadas cartesianas pela equação
na forma correspondente em coordenadas polares.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A curva é descrita em coordenadas cartesianas pela equação
. - Não há outras informações (por exemplo, limites de
ou ); a tarefa é reescrever essa relação usando variáveis polares.
Passo 2
Primeiro, vou lembrar e explicar as fórmulas que relacionam coordenadas cartesianas e polares. Em coordenadas polares usa-se um par
tal que:
Aqui
representa a distância do ponto à origem (normalmente
) e
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo. Essas duas fórmulas são fundamentais: qualquer ponto
pode ser escrito dessa forma.)
Passo 3
Agora substituímos as expressões polares em
. Substituindo
e
obtemos:
Essa é a equação da curva escrita em termos de
e
.
Passo 4
Para resolver a equação em relação a
fazemos álgebra simples. Reescrevendo:
Fatorando
:
Portanto as soluções possíveis são:
-
, ou -
com .
Passo 5
Resolvendo a segunda alternativa para
(assumindo
):
Essa é a expressão de
em função de
que descreve a curva (além do ponto
).
Passo 6
Podemos reescrever a expressão usando funções trigonométricas conhecidas para deixá‑la mais compacta. Lembrando que
e
, tem-se:
Observação importante sobre domínio: essa expressão exige
(ou seja,
,
), porque dividimos por
. Quando
(e
) a relação original
com
força
, portanto nesses ângulos o único ponto da curva é a origem, que já está coberto por a solução
.
Passo 7
Interpretação geométrica (rápida, para fixar a ideia): a equação cartesiana
é uma parábola com vértice na origem e aberta no sentido negativo do eixo
. A forma polar encontrada
(com a inclusão de
) descreve exatamente essa curva quando varre-se
exceto nos valores onde
; nesses ângulos a curva passa pela origem.