Encontre a representação das curvas em coordenadas polares:
x=-2 y^{2};

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a representação da curva dada em coordenadas cartesianas pela equação \,x=-2y^{2}\, na forma correspondente em coordenadas polares.
Informações dadas:
  • A curva é descrita em coordenadas cartesianas pela equação \,x=-2y^{2}\,.
  • Não há outras informações (por exemplo, limites de x ou y); a tarefa é reescrever essa relação usando variáveis polares.

Passo 2

Primeiro, vou lembrar e explicar as fórmulas que relacionam coordenadas cartesianas e polares. Em coordenadas polares usa-se um par (r,\theta) tal que:
x = r\cos\theta,
y = r\sin\theta.
Aqui \,r\( representa a distância do ponto à origem (normalmente \,r\ge 0) e \,\theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo. Essas duas fórmulas são fundamentais: qualquer ponto (x,y) pode ser escrito dessa forma.)

Passo 3

Agora substituímos as expressões polares em \,x=-2y^{2}\,. Substituindo \,x=r\cos\theta e \,y=r\sin\theta obtemos:
r\cos\theta = -2\bigl(r\sin\theta\bigr)^{2} = -2r^{2}\sin^{2}\theta.
Essa é a equação da curva escrita em termos de r e \theta.

Passo 4

Para resolver a equação em relação a r fazemos álgebra simples. Reescrevendo:
r\cos\theta + 2r^{2}\sin^{2}\theta = 0.
Fatorando r:
r\bigl(\cos\theta + 2r\sin^{2}\theta\bigr)=0.
Portanto as soluções possíveis são:
  • \,r=0, ou
  • \,\cos\theta + 2r\sin^{2}\theta = 0 com r\neq 0.

Passo 5

Resolvendo a segunda alternativa para r (assumindo r\neq0):
\cos\theta + 2r\sin^{2}\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2r\sin^{2}\theta = -\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad r = -\dfrac{\cos\theta}{2\sin^{2}\theta}.
Essa é a expressão de r em função de \theta que descreve a curva (além do ponto r=0).

Passo 6

Podemos reescrever a expressão usando funções trigonométricas conhecidas para deixá‑la mais compacta. Lembrando que \,\cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} e \csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}, tem-se:
r = -\dfrac{\cos\theta}{2\sin^{2}\theta} = -\dfrac{1}{2}\,\cot\theta\,\csc\theta.
Observação importante sobre domínio: essa expressão exige \sin\theta\neq 0 (ou seja, \theta\neq k\pi, k\in\mathbb{Z}), porque dividimos por \sin^{2}\theta. Quando \sin\theta=0 (e \theta=k\pi) a relação original \,x=-2y^{2}\, com y=0 força x=0, portanto nesses ângulos o único ponto da curva é a origem, que já está coberto por a solução \,r=0.

Passo 7

Interpretação geométrica (rápida, para fixar a ideia): a equação cartesiana \,x=-2y^{2}\, é uma parábola com vértice na origem e aberta no sentido negativo do eixo x. A forma polar encontrada
r = -\dfrac{\cos\theta}{2\sin^{2}\theta}
(com a inclusão de r=0) descreve exatamente essa curva quando varre-se \theta exceto nos valores onde \sin\theta=0; nesses ângulos a curva passa pela origem.

Resposta

r=0
r=-\dfrac{\cos\theta}{2\sin^{2}\theta} para \theta\neq k\pi,\\ k\in\mathbb{Z} (alternativamente r=-\dfrac{1}{2}\cot\theta\csc\theta para \theta\neq k\pi).

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