Por que, em trecho de uma barra sob força transversal uniformemente distribuída, o diagrama de esforço cortante é linear e o diagrama de momento fletor é uma parábola do segundo grau? Como construir essa parábola com base em tangentes?
Passo 1
O que o enunciado pergunta e o que temos de informação:
- Pergunta 1: Por que, numa barra (viga) submetida a uma força transversa uniformemente distribuída, o diagrama de esforço cortante é linear?
- Pergunta 2: Por que o diagrama de momento fletor é uma parábola de segundo grau?
- Pergunta 3: Como construir graficamente essa parábola com base em tangentes (isto é, usando a propriedade de que a inclinação da curva de momento é dada pelo esforço cortante)?
Informações implícitas que usaremos:
- A carga transversal é uma intensidade uniformemente distribuída por comprimento; chamaremos essa intensidade de
(força por unidade de comprimento). A sinalização (sinal positivo/negativo) será explicada; o resultado final não depende de escolha de sinal, apenas de consistência. - Entenderemos que
é o esforço cortante interno em um corte na posição e é o momento fletor interno nessa posição. - Não há necessidade de especificar as condições de apoio (simples, engastada, etc.) para a explicação das formas gerais dos diagramas, mas para construir um exemplo concreto usarei o caso clássico de viga bi-apoiada com carga uniforme para ilustrar.
Passo 2
Intuição física e definição dos diagramas (o que são
e
):
- O esforço cortante
representa a força resultante interna que resiste às forças transversais numa seção da viga. Se cortar a viga em e isolar uma das partes, é a força vertical interna que mantém equilíbrio vertical. - O momento fletor
representa o momento interno que resiste às tentativas de rotação da seção. Se cortar a viga em e isolar a parte, é o momento interno que mantém equilíbrio de momentos. - Esses dois diagramas estão ligados por equações de equilíbrio diferencial: pequenas partes da viga impõem relações entre variações de
, e a carga distribuída . A seguir vamos deduzir essas equações.
Passo 3
Derivação das equações diferenciais de equilíbrio (a base matemática do porquê das formas):
Considere um pequeno elemento da viga entre e
. Façamos o equilíbrio vertical e de momento deste elemento.
Considere um pequeno elemento da viga entre
Equilíbrio vertical:
Dividindo por
e tomando
obtém-se
Comentário didático: essa é a relação central — a derivada do esforço cortante ao longo da viga é igual (com sinal) à intensidade de carga distribuída. Para carga uniforme
essa derivada é constante, logo
varia linearmente com
.
Equilíbrio de momentos (em torno da seção em
):
Montando o balanço de momentos para o elemento e tomando o limite:
Montando o balanço de momentos para o elemento e tomando o limite:
Comentário didático: isto significa que a derivada do momento em relação a
é igual ao esforço cortante. Geometricamente, o valor de
em um ponto é a inclinação (derivada) da curva momento naquele ponto.
Com essas duas equações temos o encadeamento
Passo 4
Integração e forma explícita (como aparece a parábola):
Integrando as equações, escolhendo uma referência onde
e
(valores dados pelas reações/condições de contorno):
Integrando as equações, escolhendo uma referência
Integração de
:
Isto é uma reta (função afim) em
: coeficiente angular
, intercepto
.
Integração de
:
Fazendo a integral:
Isto é uma função do tipo
com
,
,
: uma parábola de segundo grau. Conclusão matemática clara: derivada segunda do momento dá
portanto curva de momento tem curvatura constante — característica de uma parábola.
Passo 5
Exemplo numérico concreto (viga bi-apoiada com carga uniformemente distribuída) — para fixar a ideia:
- Seja viga com comprimento
e carga uniforme ao longo de todo o vão. Para uma viga bi-apoiada as reações nas extremidades são . - A partir da esquerda (
medido a partir do apoio A):
Isto é linear (reta decrescente). No apoio esquerdo
, no direito
.
- O momento:
Isto é uma parábola com máximo no ponto
valendo
.
Comentário: este exemplo mostra numericamente que é reta e
é quadrática.
Comentário: este exemplo mostra numericamente que
Passo 6
Construção gráfica da parábola de momento com base em tangentes (métodos práticos para provas)
Vou apresentar três métodos práticos e intuitivos que você pode usar na prova sem precisar desenhar equações sofisticadas.
Vou apresentar três métodos práticos e intuitivos que você pode usar na prova sem precisar desenhar equações sofisticadas.
Método A — A propriedade fundamental (tangente = esforço cortante):
- Lembre que
. Ou seja, a inclinação (derivada) da curva em cada ponto é igual ao valor do diagrama de esforço cortante naquele ponto. - Procedimento prático:
- Desenhe o diagrama de
(é uma reta para carga uniforme). Marque valores em alguns pontos (extremos e ponto médio, por exemplo). - Em cada ponto
na viga, trace uma linha tangente hipotética à curva com inclinação igual a (interprete a inclinação como tangente do ângulo; na prática, use uma escala vertical consistente entre os diagramas de e das tangentes). - A curva de momento é a linha suave que fica tangente a todas essas retas: isto é, a envoltória das tangentes. Para uma carga uniforme, porque
varia linearmente, as tangentes variam de forma linear e a envoltória é uma parábola.
- Desenhe o diagrama de
- Como desenhar sem envelope exato: desenhe tangentes nos pontos chave (extremos e meio) e, a partir delas, trace uma curva suave que toque cada tangente. A curva construída será a parábola.
Método B — Método das áreas (muito usado, robusto e rápido):
- Como
, a variação do momento entre e é a área sob o diagrama de entre e :
- Procedimento prático:
- Desenhe o diagrama de
(reta). - Para pontos de interesse
calcule (ou meça na escala do desenho) a área acumulada do diagrama de desde um ponto de referência onde se saiba (ex.: em apoios simples ). - Marque no gráfico de
os valores obtidos e una por uma linha suave — você verá que os pontos ficam sobre uma parábola. Para carga uniforme a área sob uma linha reta entre 0 e é um trapézio/triângulo e dá a expressão quadrática já conhecida.
- Desenhe o diagrama de
- Este método é prático porque reduzir o problema a calcular áreas de formas simples (triângulos/trapézios) que se fazem no papel facilmente.
Método C — Reconstrução algébrica por condições de contorno (uma forma exata que também usa tangentes):
- Suponha que conheça
em dois pontos (por ex. , ) e conheça as inclinações (derivadas) nesses pontos, que são e . - Procure uma parábola
. Então Impondo e e (três condições) resolvem-se explicitamente: (Consistência: se também exigir deve ser compatível; numa viga com carga essa compatibilidade é satisfeita.) - Este método produz a expressão exata da parábola e, na prova, pode ser usado quando se conhecem valores e derivadas nas extremidades.
Passo 7
Dicas práticas para desenhar rápido na prova (modo “amigo” e sem pânico):
- Primeiro desenhe a viga, as reações e o diagrama de
(para carga uniforme é só uma reta com declive ). - Use o Método das Áreas para obter rapidamente alguns pontos do diagrama
: por exemplo, calcule no meio do vão somando áreas simples sob até esse ponto. - Ligue esses pontos com uma curva suave; sabendo que o formato é parabólico, faça-a simétrica quando as condições o exigirem (por exemplo viga simétrica com carga uniforme).
- Se pedir justificativa, escreva o que derivamos:
e ⇒ (constante) ⇒ é quadrática.
Resposta
Porque, por equilíbrio,
(para carga distribuída constante
), logo
é uma função afim (reta). Como
, integrar uma função linear dá uma função quadrática, portanto
é uma parábola de segundo grau. Para construir a parábola use-se: (i) tangentes cuja inclinação em
é
(a envoltória dessas tangentes é a parábola); (ii) ou o método das áreas:
e plotar os valores acumulados; (iii) ou ajuste algébrico
usando valores e derivadas (tangentes) nas extremidades.